Les Translations et homothéties constituent les transformations affines fondamentales préservant la direction des vecteurs, formant un sous-groupe essentiel du groupe affine général. Leur étude repose sur la caractérisation des applications affines dont la partie linéaire est une homothétie vectorielle ou l’identité.
Définitions formelles dans un espace affine
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$ sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, associé à un espace vectoriel $E$. Une application $f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ est dite affine si elle conserve le barycentre. Sa structure est entièrement déterminée par son application linéaire associée $\vec{f} : E \to E$ et l’image d’un point.
La translation vectorielle
Soit $\vec{u}$ un vecteur fixé de $E$. La translation de vecteur $\vec{u}$, notée $t_{\vec{u}}$, est l’application définie par :
$$ \forall M \in \mathcal{E}, \quad t_{\vec{u}}(M) = M + \vec{u} $$L’application linéaire associée à une translation est l’identité de $E$ : $\vec{t}_{\vec{u}} = \text{Id}_E$. Géométriquement, cette transformation déplace tous les points d’une même distance et dans une même direction, sans modifier l’orientation ni les distances relatives.
Si $\vec{u} = \vec{0}$, la translation est l’application identité de $\mathcal{E}$.
L’homothétie de centre et de rapport
Soit $\Omega \in \mathcal{E}$ un point fixe appelé centre, et $\lambda \in \mathbb{K}^*$ un scalaire non nul appelé rapport. L’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$, notée $h_{\Omega, \lambda}$, est l’application définie par :
$$ \forall M \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{\Omega h_{\Omega, \lambda}(M)} = \lambda \overrightarrow{\Omega M} $$Cette définition équivaut à l’égalité vectorielle suivante pour tout point origine $O$ :
$$ h_{\Omega, \lambda}(M) = \Omega + \lambda \overrightarrow{\Omega M} $$L’application linéaire associée est l’homothétie vectorielle de rapport $\lambda$ : $\vec{h}_{\Omega, \lambda} = \lambda \text{Id}_E$. Le centre $\Omega$ est l’unique point invariant de l’application si $\lambda \neq 1$.
Propriétés algébriques et structure de groupe
L’ensemble des Translations et homothéties forme une structure algébrique riche, étroitement liée au groupe des dilatations de l’espace affine.
Groupe des translations
L’ensemble des translations $\mathcal{T} = \{ t_{\vec{u}} \mid \vec{u} \in E \}$ forme un sous-groupe distingué du groupe affine $\text{GA}(\mathcal{E})$. Il est isomorphe au groupe additif de l’espace vectoriel sous-jacent $(E, +)$.
La composition de deux translations suit la règle :
$$ t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u} + \vec{v}} $$Cet isomorphisme implique que le groupe des translations est abélien (commutatif). De plus, toute translation commute avec toute autre translation.
Groupe des homothéties-translations
Considérons l’ensemble $\mathcal{D}$ des applications affines dont la partie linéaire est de la forme $\lambda \text{Id}_E$ avec $\lambda \in \mathbb{K}^*$. Cet ensemble inclut les homothéties ($\lambda \neq 1$) et les translations ($\lambda = 1$).
Théorème : L’ensemble $\mathcal{D}$ forme un sous-groupe du groupe affine, appelé groupe des dilatations. La composition obéit aux règles suivantes :
- La composée de deux homothéties de rapports $\lambda_1$ et $\lambda_2$ est une homothétie de rapport $\lambda_1 \lambda_2$ si $\lambda_1 \lambda_2 \neq 1$, ou une translation sinon.
- La composée d’une homothétie $h_{\Omega, \lambda}$ et d’une translation $t_{\vec{u}}$ est une homothétie de même rapport $\lambda$, dont le centre est déplacé.
Explicitement, si $f = h_{\Omega, \lambda}$ et $g = t_{\vec{u}}$, alors $g \circ f$ est l’homothétie de rapport $\lambda$ et de centre $\Omega’$ tel que $\overrightarrow{\Omega \Omega’} = \frac{1}{1-\lambda}\vec{u}$ (pour $\lambda \neq 1$).
Théorèmes de caractérisation et démonstrations
Les Translations et homothéties peuvent être caractérisées uniquement par leurs propriétés géométriques de conservation des directions.
Théorème de caractérisation par les directions
Énoncé : Soit $f$ une application affine de $\mathcal{E}$ dans lui-même. Si pour tout couple de points distincts $(A, B)$, la droite $(f(A)f(B))$ est parallèle à $(AB)$, alors $f$ est soit une translation, soit une homothétie.
Preuve : La condition de parallélisme implique que pour tout vecteur $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$, le vecteur image $\overrightarrow{f(A)f(B)} = \vec{f}(\vec{v})$ est colinéaire à $\vec{v}$.
Ainsi, pour tout $\vec{v} \in E \setminus \{\vec{0}\}$, il existe un scalaire $\lambda_{\vec{v}}$ tel que $\vec{f}(\vec{v}) = \lambda_{\vec{v}} \vec{v}$. Montrons que $\lambda_{\vec{v}}$ est indépendant de $\vec{v}$.
Soient $\vec{u}, \vec{v}$ deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On a :
$$ \vec{f}(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda_{\vec{u}+\vec{v}}(\vec{u} + \vec{v}) $$Par linéarité de $\vec{f}$ :
$$ \vec{f}(\vec{u}) + \vec{f}(\vec{v}) = \lambda_{\vec{u}}\vec{u} + \lambda_{\vec{v}}\vec{v} $$En identifiant les deux expressions dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$, on obtient $\lambda_{\vec{u}} = \lambda_{\vec{u}+\vec{v}} = \lambda_{\vec{v}}$. Par connexité (ou en traitant le cas colinéaire séparément), le scalaire $\lambda$ est constant sur tout $E$.
Ainsi, $\vec{f} = \lambda \text{Id}_E$. Si $\lambda = 1$, $f$ est une translation. Si $\lambda \neq 1$, $f$ admet un point fixe unique et est donc une homothétie. $\blacksquare$
Conservation du barycentre
Toute application affine conserve les barycentres. Pour les Translations et homothéties, cette propriété prend une forme simplifiée. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $\{(A_i, \alpha_i)\}$.
Pour une translation $t_{\vec{u}}$, l’image $G’$ est le barycentre des images $\{(t_{\vec{u}}(A_i), \alpha_i)\}$. De plus, $\overrightarrow{GG’} = \vec{u}$.
Pour une homothétie $h_{\Omega, \lambda}$, l’image $G’$ vérifie :
$$ \overrightarrow{\Omega G’} = \lambda \overrightarrow{\Omega G} $$Cela signifie que l’homothétie transforme le barycentre d’un système en le barycentre des images avec le même rapport $\lambda$.
Expressions analytiques et coordonnées
Dans un repère affine $(O, \mathcal{B})$, les écritures matricielles des Translations et homothéties sont particulièrement simples.
Écriture dans un repère cartésien
Soit $M$ de coordonnées colonne $X$. Une translation de vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $U$ s’écrit :
$$ X’ = X + U $$Une homothétie de centre $\Omega$ (coordonnées $X_\Omega$) et de rapport $\lambda$ s’écrit :
$$ X’ – X_\Omega = \lambda (X – X_\Omega) \iff X’ = \lambda X + (1 – \lambda)X_\Omega $$Sous forme de matrice augmentée (coordonnées homogènes), ces transformations se représentent par :
$$ \begin{pmatrix} X’ \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda I_n & (1-\lambda)X_\Omega \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix} $$Pour une translation, on pose $\lambda = 1$ et le terme de translation devient simplement $U$.
Composition analytique
Calculons la composée $h’ \circ h$ de deux homothéties de centres $\Omega_1, \Omega_2$ et de rapports $\lambda_1, \lambda_2$.
La partie linéaire associée est $\lambda_2 (\lambda_1 \text{Id}) = (\lambda_1 \lambda_2) \text{Id}$. Si $\lambda_1 \lambda_2 \neq 1$, c’est une homothétie de rapport $\lambda_1 \lambda_2$. Le nouveau centre $\Omega$ est l’unique point fixe de la composée.
Si $\lambda_1 \lambda_2 = 1$, la partie linéaire est l’identité. La composée est donc une translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega_1 \Omega_2}(1-\lambda_2)$ (à vérifier selon l’ordre).
Exemples concrets et applications géométriques
Illustrons ces concepts par des exemples classiques montrant l’utilité des Translations et homothéties dans la résolution de problèmes.
Exemple 1 : Construction du centre d’une composée
Soit $h_1$ l’homothétie de centre $A$ et de rapport $2$, et $h_2$ l’homothétie de centre $B$ et de rapport $3$. Déterminons la nature et les éléments de $f = h_2 \circ h_1$.
Le rapport global est $\lambda = 2 \times 3 = 6 \neq 1$. C’est donc une homothétie de rapport $6$. Cherchons son centre $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$.
On a $h_1(\Omega) = A + 2\overrightarrow{A\Omega}$ et $h_2(h_1(\Omega)) = B + 3\overrightarrow{B h_1(\Omega)}$.
L’équation $\Omega = B + 3(h_1(\Omega) – B)$ donne :
$$ \Omega = B + 3(A + 2\overrightarrow{A\Omega} – B) = B + 3A – 3B + 6(\Omega – A) $$ $$ \Omega = 3A – 2B + 6\Omega – 6A \implies -5\Omega = -3A – 2B \implies \Omega = \frac{3A + 2B}{5} $$Le centre $\Omega$ est le barycentre des points pondérés $\{(A, 3), (B, 2)\}$.
Exemple 2 : Théorème de Thalès et homothétie
Dans un triangle $ABC$, soit $D \in [AB]$ et $E \in [AC]$ tels que $(DE) \parallel (BC)$. Il existe une unique homothétie de centre $A$ transformant $B$ en $D$.
Notons $h$ cette homothétie de rapport $k = \frac{AD}{AB}$. Puisque $(DE) \parallel (BC)$, l’image de la droite $(BC)$ par $h$ est une droite passant par $E$ et parallèle à $(BC)$, qui n’est autre que $(DE)$.
Donc $h(C) = E$. Cela prouve directement les égalités de Thalès : $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = k$.
Contre-exemple : Rotation non incluse
Considérons une rotation $r$ d’angle $\theta \neq 0$ modulo $2\pi$. Sa partie linéaire associée n’est pas de la forme $\lambda \text{Id}$ (sauf si $\theta = \pi$, où c’est une symétrie centrale, cas particulier d’homothétie de rapport $-1$).
Pour une rotation générale, les droites $(AB)$ et $(r(A)r(B))$ ne sont pas parallèles. Ainsi, une rotation n’appartient jamais au groupe des Translations et homothéties (sauf cas triviaux).
Applications en géométrie et analyse
Les Translations et homothéties sont des outils puissants pour simplifier les équations et démontrer des théorèmes d’alignement ou de concours.
Réduction d’équations de courbes
En analyse, la translation du repère permet de supprimer les termes de degré inférieur dans les équations de coniques ou de polynômes. Par exemple, pour étudier $y = ax^2 + bx + c$, une translation appropriée ramène l’équation à la forme canonique $Y = aX^2$.
L’homothétie permet quant à elle de normaliser les coefficients, ramenant toute ellipse à un cercle unité pour faciliter les calculs d’aires ou d’intégrales, avant de revenir à l’échelle initiale par le facteur de Jacobien $\lambda^2$ (en dimension 2).
Homothétie et similitude
Toute similitude directe du plan peut se décomposer en une homothétie et une rotation (ou une translation si le rapport est 1). L’étude isolée des homothéties permet de comprendre la composante de changement d’échelle indépendamment de la rotation.
Cette décomposition est cruciale en géométrie fractale, où les objets auto-similaires sont invariants par un système de fonctions itérées comprenant des homothéties de rapports inférieurs à 1.
Conclusion synthétique
Les Translations et homothéties forment le sous-groupe des transformations affines conservant globalement les directions vectorielles. Caractérisées par une partie linéaire homothétique, elles jouent un rôle central dans la géométrie élémentaire (Thalès, barycentres) et supérieure (réduction d’endomorphismes, similitudes).
Leur maîtrise algébrique (composition, recherche de points fixes) et géométrique (conservation du parallélisme, rapports de distances) est indispensable pour structurer la compréhension des espaces affines et de leurs transformations fondamentales.