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⚙️ Structures Algébriques
Cette page est la suite de l’algèbre linéaire, introduisant les structures fondamentales de l’algèbre abstraite.
Lois de composition interne
- Définition d’une loi de composition
- Propriétés : associativité et commutativité
- Élément neutre et sa définition
- Éléments symétrisables ou inversibles
- Parties stables d’une structure
- Morphisme entre structures algébriques
- Exemples de lois de composition
- Table d’une loi de composition
- Notion de magma et monoïde
- Lois de composition externe
Théorie des groupes
- Définition de la structure de groupe
- Premières propriétés d’un groupe
- Définition d’un sous-groupe
- Caractérisation d’un sous-groupe
- Ordre d’un élément
- Définition d’un groupe cyclique
- Générateurs d’un groupe cyclique
- Le théorème de Lagrange
- Sous-groupe engendré par une partie
- Produit direct de groupes
Morphismes de groupes
- Définition d’un morphisme de groupes
- Propriétés des morphismes de groupes
- Définition du noyau d’un morphisme
- Définition de l’image d’un morphisme
- Le noyau est un sous-groupe
- Injectivité et noyau d’un morphisme
- Isomorphismes, endomorphismes et automorphismes
- Transport de structure par isomorphisme
- Exemples fondamentaux de morphismes
- Images directe et réciproque
Groupes quotients
- Relation d’équivalence compatible
- Définition d’un sous-groupe distingué
- Construction du groupe quotient
- Application du théorème de Lagrange
- Premier théorème d’isomorphisme
- Applications du premier théorème
- Deuxième théorème d’isomorphisme
- Troisième théorème d’isomorphisme
- Correspondance entre les sous-groupes
- Exemple : le groupe Z/nZ
Groupe symétrique et alterné
- Le groupe des permutations Sₙ
- Décomposition en cycles
- Support et ordre d’une permutation
- Signature d’une permutation
- Définition du groupe alterné Aₙ
- Le groupe alterné est distingué
- Générateurs du groupe symétrique
- Simplicité du groupe alterné Aₙ
- Classes de conjugaison dans Sₙ
- Applications des groupes de permutations
Actions de groupes
Anneaux et corps
- Définition de la structure d’anneau
- Exemples fondamentaux d’anneaux
- Anneau intègre et diviseurs de zéro
- Définition de la structure de corps
- Définition d’un idéal d’anneau
- Idéal engendré par une partie
- Morphismes d’anneaux, noyau, image
- Caractéristique d’un anneau ou corps
- L’anneau des polynômes K[X]
- Anneau produit et ses propriétés
Anneaux quotients
- Construction de l’anneau quotient
- Propriétés de l’anneau quotient
- Idéaux premiers et maximaux
- Lien entre idéaux et quotients
- Le théorème de factorisation
- Isomorphismes pour les anneaux
- Exemple : l’anneau Z/nZ
- Quotienter l’anneau des polynômes
- Le théorème des restes chinois
- Applications des anneaux quotients
Anneaux principaux et euclidiens
- Définition d’un anneau principal
- Propriétés des anneaux principaux
- Définition d’un anneau euclidien
- Tout anneau euclidien est principal
- Exemples d’anneaux euclidiens
- L’algorithme d’Euclide étendu
- Identité de Bézout généralisée
- Factorisation dans les anneaux principaux
- Éléments irréductibles et premiers
- Le lemme de Gauss
Arithmétique dans Z et K[X]
- Division euclidienne dans Z et K[X]
- PGCD et PPCM dans Z, K[X]
- L’algorithme d’Euclide pour polynômes
- Théorème de Bézout pour polynômes
- Racines des polynômes
- Factorisation en éléments irréductibles
- Polynômes irréductibles de R[X]
- Polynômes irréductibles de C[X]
- Critère d’irréductibilité d’Eisenstein
- Congruences dans Z et K[X]
Corps finis
- Définition et premiers exemples
- Caractéristique d’un corps fini
- Construction des corps finis
- Polynôme minimal d’un élément
- Corps de rupture d’un polynôme
- Corps de décomposition d’un polynôme
- Le groupe multiplicatif est cyclique
- Classification des corps finis
- Le morphisme de Frobenius
- Applications des corps finis