Les Variétés linéaires affines, souvent appelées sous-espaces affines, constituent les objets géométriques fondamentaux des espaces affines, généralisant la notion de droites et de plans à des dimensions quelconques. Elles se définissent comme des translatés de sous-espaces vectoriels et obéissent à des règles d’incidence et d’intersection rigoureuses.
Définition formelle et espace directeur
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, associé à un espace vectoriel $E$. Une partie non vide $\mathcal{V} \subseteq \mathcal{E}$ est une variété linéaire affine s’il existe un point $A \in \mathcal{V}$ et un sous-espace vectoriel $F \subseteq E$ tels que :
$$ \mathcal{V} = A + F = \{ A + \vec{u} \mid \vec{u} \in F \} $$Le sous-espace vectoriel $F$ est unique et est appelé l’espace directeur de la variété $\mathcal{V}$, noté $\overrightarrow{\mathcal{V}}$. Sa dimension définit la dimension de la variété affine :
$$ \dim(\mathcal{V}) = \dim(\overrightarrow{\mathcal{V}}) $$Cette définition implique que pour tout couple de points $M, N \in \mathcal{V}$, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ appartient nécessairement à $F$. Réciproquement, si $A \in \mathcal{V}$ et $\vec{u} \in F$, alors $A+\vec{u} \in \mathcal{V}$.
Caractérisation par stabilité barycentrique
Une propriété intrinsèque caractérise les Variétés linéaires affines sans référence explicite à un point base : une partie non vide $\mathcal{V}$ est une variété affine si et seulement si elle est stable par barycentre.
Cela signifie que pour toute famille finie de points $(A_i)_{i \in I}$ de $\mathcal{V}$ et toute famille de scalaires $(\lambda_i)_{i \in I}$ telle que $\sum \lambda_i = 1$, le barycentre $G$ appartient à $\mathcal{V}$ :
$$ G = \sum_{i \in I} \lambda_i A_i \in \mathcal{V} $$Cette propriété montre que les variétés affines sont les sous-espaces naturels pour la géométrie barycentrique.
Propriétés d’incidence et d’intersection
L’étude des intersections de Variétés linéaires affines révèle des structures algébriques précises, analogues mais distinctes de celles des espaces vectoriels en raison du décalage dimensionnel.
Théorème de l’intersection de variétés
Soit $(\mathcal{V}_i)_{i \in I}$ une famille quelconque de variétés linéaires affines de $\mathcal{E}$. Si l’intersection $\bigcap_{i \in I} \mathcal{V}_i$ est non vide, alors c’est une variété linéaire affine.
De plus, son espace directeur est l’intersection des espaces directeurs :
$$ \overrightarrow{\left( \bigcap_{i \in I} \mathcal{V}_i \right)} = \bigcap_{i \in I} \overrightarrow{\mathcal{V}_i} $$Preuve : Soit $A$ un point appartenant à l’intersection. Pour tout $i$, $\mathcal{V}_i = A + F_i$ où $F_i = \overrightarrow{\mathcal{V}_i}$. Un point $M$ appartient à l’intersection si et seulement si pour tout $i$, $M \in A + F_i$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{AM} \in F_i$ pour tout $i$.
Ainsi, $\overrightarrow{AM} \in \bigcap F_i$. L’ensemble des tels points $M$ est exactement $A + (\bigcap F_i)$, qui est bien une variété affine de direction l’intersection des directions. $\blacksquare$
Cas de l’intersection vide et parallélisme
Contrairement aux sous-espaces vectoriels qui contiennent toujours l’origine et ont donc une intersection non vide, deux Variétés linéaires affines peuvent avoir une intersection vide.
On dit que deux variétés $\mathcal{V}_1$ et $\mathcal{V}_2$ sont parallèles si l’espace directeur de l’une est inclus dans celui de l’autre (ou s’ils sont égaux). Si $\mathcal{V}_1 \parallel \mathcal{V}_2$ et $\mathcal{V}_1 \cap \mathcal{V}_2 = \emptyset$, elles sont strictement parallèles (comme deux droites parallèles distinctes dans un plan).
Enveloppe affine et théorème de la dimension
Pour toute partie $S \subseteq \mathcal{E}$, il existe une plus petite variété linéaire affine contenant $S$, appelée l’enveloppe affine de $S$, notée $\text{Aff}(S)$.
Construction de l’enveloppe affine
L’enveloppe affine $\text{Aff}(S)$ est l’ensemble de tous les barycentres de familles finies de points de $S$. Si $S = \{A_0, A_1, \dots, A_k\}$, alors :
$$ \text{Aff}(S) = \left\{ \sum_{i=0}^k \lambda_i A_i \;\middle|\; \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1 \right\} $$L’espace directeur de $\text{Aff}(S)$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $\overrightarrow{A_0 A_1}, \overrightarrow{A_0 A_2}, \dots, \overrightarrow{A_0 A_k}$.
Formule de Grassmann affine
Soient $\mathcal{V}_1$ et $\mathcal{V}_2$ deux variétés linéaires affines telles que leur intersection soit non vide. La dimension de leur enveloppe affine (la plus petite variété les contenant toutes deux) vérifie :
$$ \dim(\text{Aff}(\mathcal{V}_1 \cup \mathcal{V}_2)) = \dim(\mathcal{V}_1) + \dim(\mathcal{V}_2) – \dim(\mathcal{V}_1 \cap \mathcal{V}_2) $$Cette formule est identique à celle des espaces vectoriels, mais elle n’est valable que si $\mathcal{V}_1 \cap \mathcal{V}_2 \neq \emptyset$. Si l’intersection est vide, la dimension de l’enveloppe est supérieure d’une unité à la somme des dimensions moins la dimension de l’intersection des directions (dans le cas de droites gauches par exemple).
Équations cartésiennes des variétés
Dans un espace affine de dimension finie $n$, les Variétés linéaires affines peuvent être décrites analytiquement par des systèmes d’équations linéaires.
Définition par équations linéaires
Une variété affine $\mathcal{V}$ de dimension $k$ dans un espace de dimension $n$ peut être définie comme l’ensemble des solutions d’un système compatible de $n-k$ équations linéaires indépendantes :
$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$Où $m = n-k$. Le second membre $(b_1, \dots, b_m)$ traduit le fait que la variété ne passe pas nécessairement par l’origine (contrairement aux sous-espaces vectoriels où $b_i=0$).
Le rang de la matrice du système détermine la codimension de la variété. Si le système est incompatible, l’ensemble des solutions est vide, ce qui correspond à l’absence d’intersection entre plusieurs variétés.
Exemple : Droite dans l’espace $\mathbb{R}^3$
Une droite dans $\mathbb{R}^3$ est une variété de dimension 1. Elle nécessite donc $3-1=2$ équations linéaires indépendantes pour être définie. Par exemple, l’intersection de deux plans sécants :
$$ \mathcal{D} = \{ (x,y,z) \mid x+y+z=1 \text{ et } x-y=0 \} $$Ce système définit une droite passant par le point $(1/2, 1/2, 0)$ et dirigée par le vecteur produit vectoriel des normales des deux plans.
Exemples concrets et classifications
Illustrons la diversité des Variétés linéaires affines selon leur dimension dans un espace usuel.
Classification par dimension
Dans un espace affine de dimension $n$ :
- Dimension 0 : Un point unique. C’est une variété de la forme $\{A\}$ avec un espace directeur nul $\{\vec{0}\}$.
- Dimension 1 : Une droite affine. Engendrée par deux points distincts.
- Dimension 2 : Un plan affine. Engendré par trois points non alignés.
- Dimension $n-1$ : Un hyperplan affine. Défini par une seule équation linéaire $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$.
- Dimension $n$ : L’espace entier $\mathcal{E}$.
Exemple : Intersection de deux plans dans $\mathbb{R}^4$
Considérons deux plans affines $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ (dimension 2) dans $\mathbb{R}^4$. Si leur intersection contient un point $A$, la dimension de l’intersection vérifie :
$$ \dim(\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2) \geq 2 + 2 – 4 = 0 $$L’intersection peut donc être un point (dimension 0), une droite (dimension 1), un plan (si ils sont confondus), ou vide (si leurs directions s’intersectent trivialement mais qu’ils sont décalés).
Si les espaces directeurs sont en somme directe directe ($\dim(F_1+F_2)=4$), alors l’intersection des directions est $\{\vec{0}\}$. Si les plans ne se coupent pas, ils sont « gauches » au sens généralisé.
Contre-exemple : Union de variétés
L’union de deux variétés linéaires affines n’est généralement pas une variété affine, sauf si l’une est incluse dans l’autre.
Par exemple, la réunion de deux droites sécantes en un point forme une croix. Cet ensemble n’est pas stable par barycentre : le milieu d’un segment reliant un point de la première droite (hors intersection) à un point de la seconde n’appartient à aucune des deux droites. Ce n’est donc pas une variété linéaire affine.
Applications en géométrie et optimisation
Les Variétés linéaires affines jouent un rôle central dans la résolution de systèmes linéaires et l’optimisation sous contraintes.
Ensemble des solutions d’un système linéaire
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires $AX=B$ (où $A$ est une matrice, $X$ le vecteur inconnu, $B$ le second membre) forme une variété linéaire affine.
Si $X_0$ est une solution particulière, l’ensemble des solutions est :
$$ S = X_0 + \text{Ker}(A) $$C’est exactement la définition d’une variété affine de direction le noyau de l’application linéaire associée. La géométrie de l’ensemble des solutions dépend entièrement de la dimension de ce noyau.
Contraintes en programmation linéaire
En optimisation, les contraintes d’égalité définissent des variétés affines. La région réalisable est souvent l’intersection d’une variété affine (contraintes d’égalité) et de demi-espaces (contraintes d’inégalité), formant un polyèdre convexe.
Les algorithmes du simplexe se déplacent le long des arêtes de ces polyèdres, qui sont elles-mêmes des segments de variétés affines de dimension 1 incluses dans les frontières de dimension supérieure.
Conclusion synthétique
Les Variétés linéaires affines généralisent les concepts intuitifs de droites et de plans à tout espace affine, caractérisées par leur stabilité barycentrique et leur structure de translaté de sous-espace vectoriel. Leurs propriétés d’intersection et d’enveloppe obéissent à des lois dimensionnelles précises, similaires à celles de l’algèbre linéaire mais adaptées au contexte affine.
La maîtrise de leur définition, de leurs équations cartésiennes et de leurs relations d’incidence est fondamentale pour aborder la géométrie affine, la résolution de systèmes linéaires et l’optimisation mathématique dans des espaces de dimension supérieure.