Les Isomorphismes affines constituent les bijections fondamentales entre espaces affines qui préservent la structure barycentrique et l’alignement des points. Ces applications linéaires affines inversibles établissent une équivalence géométrique parfaite, permettant de transporter les propriétés d’un espace vers un autre sans déformation de la nature affine.
Définition formelle et caractérisation bijective
Soient $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ deux espaces affines sur un même corps commutatif $\mathbb{K}$, associés respectivement aux espaces vectoriels $E$ et $F$. Une application $f : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ est un isomorphisme affine si et seulement si elle satisfait deux conditions :
- $f$ est une application affine.
- $f$ est bijective (injective et surjective).
Rappelons qu’une application est affine s’il existe une application linéaire $\vec{f} : E \to F$, appelée partie linéaire de $f$, telle que pour tous points $A, B \in \mathcal{E}$ :
$$ \overrightarrow{f(A)f(B)} = \vec{f}(\overrightarrow{AB}) $$La condition de bijectivité pour une application affine équivaut exactement à ce que sa partie linéaire associée $\vec{f}$ soit un isomorphisme d’espaces vectoriels (c’est-à-dire une application linéaire bijective).
Condition nécessaire et suffisante
Théorème : Une application affine $f : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ est un isomorphisme affine si et seulement si son application linéaire associée $\vec{f}$ est inversible.
Preuve : Supposons $\vec{f}$ inversible. Montrons que $f$ est bijective.
Injectivité : Soient $A, B \in \mathcal{E}$ tels que $f(A) = f(B)$. Alors $\overrightarrow{f(A)f(B)} = \vec{0}_F$. Par définition, $\vec{f}(\overrightarrow{AB}) = \vec{0}_F$. Comme $\vec{f}$ est injective (car inversible), son noyau est réduit au vecteur nul, donc $\overrightarrow{AB} = \vec{0}_E$, ce qui implique $A=B$.
Surjectivité : Soit $Y \in \mathcal{F}$. Fixons un point $O \in \mathcal{E}$ et posons $O’ = f(O)$. Pour tout $Y$, le vecteur $\overrightarrow{O’Y} \in F$ admet un antécédent unique $\vec{u} \in E$ par $\vec{f}$ (car $\vec{f}$ est surjective). Posons $X = O + \vec{u}$. Alors :
$$ \overrightarrow{f(O)f(X)} = \vec{f}(\overrightarrow{OX}) = \vec{f}(\vec{u}) = \overrightarrow{O’Y} $$Cela implique $f(X) = Y$. Donc $f$ est surjective. $\blacksquare$
Propriétés structurelles et conservation
Les Isomorphismes affines préservent toutes les propriétés définies purement en termes de structure affine, sans faire intervenir de métrique (distance ou angle).
Conservation du barycentre
Toute application affine conserve les barycentres. Si $f$ est un isomorphisme affine, alors pour toute famille finie de points pondérés $\{(A_i, \lambda_i)\}_{i \in I}$ telle que $\sum \lambda_i \neq 0$, l’image du barycentre est le barycentre des images :
$$ f\left( \text{Bar}\{(A_i, \lambda_i)\} \right) = \text{Bar}\{(f(A_i), \lambda_i)\} $$Cette propriété caractérise les applications affines parmi toutes les applications entre espaces affines. Elle garantit que le milieu d’un segment est envoyé sur le milieu du segment image, et plus généralement, que les rapports de mesures algébriques sur des droites parallèles sont conservés.
Conservation des sous-espaces affines
L’image directe et l’image réciproque d’une variété linéaire affine (sous-espace affine) par un isomorphisme affine sont des variétés linéaires affines de même dimension.
Si $\mathcal{V}$ est un sous-espace affine de $\mathcal{E}$ de direction $W \subseteq E$, alors $f(\mathcal{V})$ est un sous-espace affine de $\mathcal{F}$ de direction $\vec{f}(W)$. Puisque $\vec{f}$ est un isomorphisme, on a :
$$ \dim(f(\mathcal{V})) = \dim(\vec{f}(W)) = \dim(W) = \dim(\mathcal{V}) $$Ainsi, un isomorphisme affine transforme les droites en droites, les plans en plans, et préserve le parallélisme : si deux sous-espaces sont parallèles dans $\mathcal{E}$, leurs images le sont dans $\mathcal{F}$.
Théorèmes fondamentaux et groupes
L’ensemble des automorphismes affines d’un espace forme un groupe riche, central dans l’étude de la géométrie affine.
Groupe affine général
L’ensemble des isomorphismes affines de $\mathcal{E}$ dans lui-même, noté $\text{GA}(\mathcal{E})$, forme un groupe pour la composition des applications. C’est le groupe affine général de l’espace $\mathcal{E}$.
L’application qui à tout élément $f \in \text{GA}(\mathcal{E})$ associe sa partie linéaire $\vec{f} \in \text{GL}(E)$ (groupe linéaire général) est un homomorphisme de groupes surjectif :
$$ L : \text{GA}(\mathcal{E}) \to \text{GL}(E), \quad f \mapsto \vec{f} $$Le noyau de cet homomorphisme est le sous-groupe des translations de $\mathcal{E}$, noté $\mathcal{T}(\mathcal{E})$. On a donc la suite exacte :
$$ 0 \to E \xrightarrow{t} \text{GA}(\mathcal{E}) \xrightarrow{L} \text{GL}(E) \to 1 $$Cela signifie que tout isomorphisme affine se décompose (de manière non unique dépendant du point fixe choisi) en une translation suivie d’une application linéaire fixant un point.
Théorème fondamental de la géométrie affine
Dans un espace affine de dimension $n$, étant donnés deux repères affines quelconques $\mathcal{R} = (O, e_1, \dots, e_n)$ et $\mathcal{R}’ = (O’, e’_1, \dots, e’_n)$, il existe un unique isomorphisme affine $f$ tel que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}’$.
C’est-à-dire : $f(O) = O’$ et pour tout $i$, $\vec{f}(e_i) = e’_i$. Ce théorème assure que tous les espaces affines de même dimension sur un même corps sont isomorphes entre eux. Il n’existe qu’un seul espace affine de dimension $n$ à isomorphisme près, souvent identifié à $\mathbb{K}^n$.
Expression analytique et matrices
Dans des repères choisis, les Isomorphismes affines s’expriment par des systèmes d’équations linéaires avec second membre, ou via des matrices augmentées.
Écriture dans des repères affines
Soient $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}’$ deux repères affines de $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées d’un point $M$ dans $\mathcal{R}$ et $Y$ celles de $f(M)$ dans $\mathcal{R}’$, alors :
$$ Y = A X + B $$Où $A$ est la matrice inversible de l’application linéaire $\vec{f}$ dans les bases associées aux repères, et $B$ est le vecteur colonne des coordonnées de l’image de l’origine de $\mathcal{R}$ dans $\mathcal{R}’$.
La condition d’inversibilité de $f$ équivaut à $\det(A) \neq 0$.
Utilisation des coordonnées homogènes
Pour linéariser l’écriture, on utilise les coordonnées homogènes. En ajoutant une coordonnée égale à 1, la relation devient une multiplication matricielle :
$$ \begin{pmatrix} Y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix} $$La matrice bloc $\mathcal{M} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est une matrice inversible de taille $(n+1) \times (n+1)$. L’ensemble de ces matrices forme un sous-groupe de $\text{GL}_{n+1}(\mathbb{K})$ isomorphe au groupe affine $\text{GA}_n(\mathbb{K})$.
Exemples concrets et applications
Illustrons la théorie des Isomorphismes affines par des exemples classiques et des contre-exemples instructifs.
Exemple 1 : Changement de repère dans le plan
Considérons le plan affine $\mathbb{R}^2$. Soit le repère canonique $\mathcal{R}_0 = (O, \vec{i}, \vec{j})$ et un nouveau repère $\mathcal{R}_1$ d’origine $\Omega(1, 2)$ et de base $(\vec{u}, \vec{v})$ avec $\vec{u} = \vec{i} + \vec{j}$ et $\vec{v} = \vec{i} – \vec{j}$.
L’application $f$ qui envoie $\mathcal{R}_0$ sur $\mathcal{R}_1$ est un isomorphisme affine. Sa partie linéaire a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Le déterminant vaut $-2 \neq 0$, donc $A$ est inversible.
L’expression analytique est :
$$ \begin{cases} x’ = x + y + 1 \\ y’ = x – y + 2 \end{cases} $$Cette transformation permet de passer des coordonnées dans l’ancien repère aux nouvelles, conservant l’alignement et les milieux.
Exemple 2 : Homothétie et Translation
Toute homothétie de rapport $k \neq 0$ et toute translation sont des isomorphismes affines.
Pour une homothétie $h_{\Omega, k}$, la partie linéaire est l’homothétie vectorielle de rapport $k$, de matrice $k I_n$. Son déterminant est $k^n \neq 0$. Pour une translation $t_{\vec{u}}$, la partie linéaire est l’identité ($I_n$), de déterminant $1$.
En revanche, une projection affine (non identité) n’est jamais un isomorphisme car sa partie linéaire est un projecteur non trivial, donc non inversible (déterminant nul).
Contre-exemple : Application non affine
Considérons l’application $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$. Bien que bijective sur $\mathbb{R}_+$, elle n’est pas affine sur $\mathbb{R}$.
Elle ne conserve pas les barycentres. Prenons $A=0, B=2$ et le milieu $G=1$. $g(A)=0, g(B)=4$. Le milieu des images est $2$. Or $g(G) = 1^2 = 1 \neq 2$.
De plus, elle ne conserve pas l’alignement au sens affine global (elle courbe la droite). Ce n’est donc pas un isomorphisme affine.
Applications en géométrie et modélisation
Les Isomorphismes affines sont omniprésents en infographie, en robotique et en physique pour modéliser les changements de référentiels galiléens (en mécanique classique).
Classification des triangles et quadrilatères
Grâce au théorème fondamental, tous les triangles du plan affine sont affinement équivalents. Il existe toujours un isomorphisme affine transformant un triangle quelconque en un triangle équilatéral de référence.
De même, tous les parallélogrammes sont affinement équivalents au carré unité. Cependant, un trapèze non parallélogramme ne peut être transformé en parallélogramme par un isomorphisme affine, car le parallélisme des côtés opposés est une propriété invariante.
Invariants affines
Seules certaines grandeurs sont conservées par les Isomorphismes affines : l’alignement, le parallélisme, les rapports de longueurs sur des droites parallèles, et les rapports d’aires (ou de volumes) dans un même espace.
En revanche, les distances, les angles et l’orthogonalité ne sont pas conservés par un isomorphisme affine général (sauf si c’est une isométrie). Cela distingue nettement la géométrie affine de la géométrie euclidienne.
Conclusion synthétique
Les Isomorphismes affines sont les bijections préservant la structure fondamentale des espaces affines, caractérisées par l’inversibilité de leur partie linéaire associée. Ils forment le groupe affine général et permettent d’établir que tous les espaces de même dimension sont structurellement identiques.
Leur maîtrise est essentielle pour comprendre les changements de repères, la classification des figures géométriques à équivalence affine près, et pour distinguer les propriétés intrinsèques de la géométrie affine de celles dépendant d’une métrique supplémentaire.