Définitions Fondamentales des Courbes Paramétrées
Une approche rigoureuse nécessite de distinguer l’application (l’arc) de son image géométrique (le support).
Arc Paramétré
Soit $I$ un intervalle non trivial de $\mathbb{R}$ et $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n$ (généralement $\mathbb{R}^n$).
Un arc paramétré (ou courbe paramétrée) est une application $\vec{f}$ :
$$ \vec{f} : I \to E, \quad t \mapsto \vec{f}(t) $$La variable $t \in I$ est appelée le paramètre. L’application $\vec{f}$ est souvent notée $\gamma$.
Support de l’Arc
Le support (ou l’image) de l’arc $\vec{f}$ est l’ensemble des points de $E$ atteints par $\vec{f}$. Il est noté $\mathcal{C}$ ou $\Gamma$.
$$ \mathcal{C} = \vec{f}(I) = \{ \vec{f}(t) \mid t \in I \} \subset E $$Il est crucial de ne pas confondre l’arc (la fonction, le mouvement) et son support (la trace géométrique).
Classe de l’Arc
L’arc $\vec{f}$ est dit de classe $\mathcal{C}^k$ si l’application $\vec{f}$ est $k$ fois continûment différentiable sur $I$. Si $\vec{f}$ est $\mathcal{C}^\infty$, l’arc est dit lisse.
Dans le cas où $E = \mathbb{R}^n$, $\vec{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t))$. L’arc est $\mathcal{C}^k$ si et seulement si chaque fonction coordonnée $f_i: I \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^k$.
Propriétés Géométriques et Différentielles
L’analyse des courbes paramétrées repose sur l’étude de leurs vecteurs dérivés successifs.
Vecteur Vitesse et Tangente
Soit un arc $\vec{f}$ de classe $\mathcal{C}^1$. Le vecteur vitesse (ou vecteur dérivé) au point de paramètre $t$ est :
$$ \vec{f}'(t) = \frac{d\vec{f}}{dt}(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(t+h) – \vec{f}(t)}{h} $$En coordonnées cartésiennes, $\vec{f}'(t) = (f_1′(t), \dots, f_n'(t))$.
Points Réguliers et Singuliers
Un point $M(t_0) = \vec{f}(t_0)$ est dit régulier si son vecteur vitesse est non nul :
$$ \vec{f}'(t_0) \neq \vec{0} $$Dans le cas contraire, si $\vec{f}'(t_0) = \vec{0}$, le point est dit singulier ou stationnaire.
Un arc est dit régulier si tous ses points sont réguliers.
Théorème : Existence de la Tangente en un Point Régulier
Si un arc $\vec{f}$ de classe $\mathcal{C}^1$ possède un point régulier $M(t_0)$, alors le support de l’arc admet une droite tangente unique en ce point. Cette tangente est la droite passant par $M(t_0)$ et dirigée par le vecteur vitesse $\vec{f}'(t_0)$.
Preuve :
Considérons le développement limité de $\vec{f}$ à l’ordre 1 au voisinage de $t_0$. Pour $h \to 0$ :
$$ \vec{f}(t_0+h) = \vec{f}(t_0) + h \cdot \vec{f}'(t_0) + o(h) $$Le vecteur $\vec{M(t_0)M(t_0+h)} = \vec{f}(t_0+h) – \vec{f}(t_0)$ est le vecteur directeur de la sécante à la courbe. On a :
$$ \frac{\vec{M(t_0)M(t_0+h)}}{h} = \vec{f}'(t_0) + \frac{o(h)}{h} $$À la limite lorsque $h \to 0$, la direction de la sécante tend vers la direction du vecteur $\vec{f}'(t_0)$.
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\vec{f}(t_0+h) – \vec{f}(t_0)}{h} = \vec{f}'(t_0) $$Puisque le point est régulier, $\vec{f}'(t_0) \neq \vec{0}$, ce vecteur définit bien une direction. La droite affine passant par $\vec{f}(t_0)$ et de vecteur directeur $\vec{f}'(t_0)$ est la position limite des sécantes. $\blacksquare$
Exemples de Courbes Paramétrées
Exemple 1 : La Cycloïde
La cycloïde décrit la trajectoire d’un point fixé sur un cercle de rayon $R$ qui roule sans glisser sur une droite. Sa paramétrisation est :
$$ \vec{f}(t) = (R(t-\sin t), R(1-\cos t)), \quad t \in \mathbb{R} $$Le vecteur vitesse est :
$$ \vec{f}'(t) = (R(1-\cos t), R\sin t) $$Cherchons les points singuliers : $\vec{f}'(t) = \vec{0}$.
$$ \begin{cases} R(1-\cos t) = 0 \\ R\sin t = 0 \end{cases} \implies \cos t = 1 \text{ et } \sin t = 0 $$Ceci est vérifié pour $t = 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Ces points correspondent aux moments où le point de la roue touche le sol, formant des points de rebroussement (cuspides).
Exemple 2 : L’Astroïde
L’astroïde est une hypocycloïde à quatre rebroussements. Une paramétrisation usuelle est :
$$ \vec{g}(t) = (a \cos^3 t, a \sin^3 t), \quad t \in [0, 2\pi] $$Le vecteur vitesse est :
$$ \vec{g}'(t) = (-3a \cos^2 t \sin t, 3a \sin^2 t \cos t) = 3a \cos t \sin t (-\cos t, \sin t) $$Les points singuliers ($\vec{g}'(t)=\vec{0}$) sont obtenus lorsque $\cos t = 0$ or $\sin t = 0$. Cela correspond aux paramètres $t=0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$. Ces points sont les quatre sommets de l’astroïde situés sur les axes de coordonnées.
Changement de Paramètre (Reparamétrage)
La description d’un support géométrique n’est pas unique. Plusieurs arcs peuvent avoir le même support.
Définition du Reparamétrage
Soit un arc $\vec{f}: I \to E$ et une fonction $\phi: J \to I$ de classe $\mathcal{C}^1$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.
L’arc $\vec{g} = \vec{f} \circ \phi : J \to E$ est un reparamétrage de $\vec{f}$.
$$ \vec{g}(u) = \vec{f}(\phi(u)), \quad u \in J $$Si $\phi'(u) > 0$ pour tout $u \in J$, on dit que le reparamétrage préserve l’orientation. Si $\phi'(u) < 0$, il l'inverse.
Théorème : Conservation de la Régularité
Soit $\phi: J \to I$ un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme (c’est-à-dire $\phi$ bijective, $\mathcal{C}^1$, et $\phi^{-1}$ de classe $\mathcal{C}^1$, ce qui implique $\phi'(u) \neq 0$ pour tout $u \in J$). Un point $M = \vec{g}(u_0)$ est régulier pour $\vec{g}$ si et seulement si $M = \vec{f}(\phi(u_0))$ est régulier pour $\vec{f}$.
Preuve :
Par la règle de dérivation en chaîne, le vecteur vitesse de $\vec{g}$ est :
$$ \vec{g}'(u) = \frac{d}{du}(\vec{f}(\phi(u))) = \phi'(u) \cdot \vec{f}'(\phi(u)) $$Puisque $\phi$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme, le scalaire $\phi'(u)$ ne s’annule jamais. Par conséquent :
$$ \vec{g}'(u) = \vec{0} \iff \vec{f}'(\phi(u)) = \vec{0} $$La nullité du vecteur vitesse est donc une propriété invariante par reparamétrage régulier. Les points singuliers (et donc les points réguliers) sont géométriquement attachés au support de la courbe, indépendamment du choix de paramétrage régulier. $\blacksquare$