Définition formelle des arcs réguliers
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie $E$, souvent identifié à $\mathbb{R}^n$, définissons d’abord la notion d’arc paramétré.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Un arc paramétré est un couple $(I, \vec{f})$ où $\vec{f}$ est une application de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \ge 1$) :
$$ \vec{f} : I \to \mathbb{R}^n, \quad t \mapsto \vec{f}(t) $$La notion de régularité porte spécifiquement sur le vecteur dérivé de cette application.
Condition de régularité
Un point $t_0 \in I$ est dit régulier si le vecteur dérivé en ce point est non nul. Autrement dit :
$$ \vec{f}'(t_0) \neq \vec{0} $$L’arc paramétré $(I, \vec{f})$ est un des **arcs réguliers** si tous ses points sont réguliers.
$$ \forall t \in I, \quad \| \vec{f}'(t) \| > 0 $$Si $\vec{f}'(t_0) = \vec{0}$, le point est dit singulier ou stationnaire.
Théorème de la tangente et orientation
La régularité est la condition sine qua non pour définir sans ambiguïté la droite tangente.
Théorème d’existence de la tangente
Soit $(I, \vec{f})$ un arc paramétré de classe $\mathcal{C}^1$. Si le point de paramètre $t_0$ est régulier, alors la courbe admet une tangente en $M_0 = \vec{f}(t_0)$. Cette tangente est dirigée par le vecteur $\vec{f}'(t_0)$.
L’équation paramétrique de la tangente $T_{M_0}$ est donnée par :
$$ T_{M_0} = \{ M \in \mathbb{R}^n \mid \exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{M_0M} = \lambda \vec{f}'(t_0) \} $$Preuve :
Considérons le développement de Taylor-Young à l’ordre 1 au voisinage de $t_0$. Pour $h$ voisin de 0 :
$$ \vec{f}(t_0 + h) = \vec{f}(t_0) + h \vec{f}'(t_0) + o(h) $$Formons le taux d’accroissement vectoriel entre $t_0$ et $t_0+h$ :
$$ \frac{\vec{f}(t_0 + h) – \vec{f}(t_0)}{h} = \vec{f}'(t_0) + \epsilon(h) $$où $\lim_{h \to 0} \epsilon(h) = \vec{0}$.
Puisque l’arc est r��gulier, $\vec{f}'(t_0) \neq \vec{0}$. La limite de la direction de la sécante, lorsque $h$ tend vers 0, est donc portée par le vecteur $\vec{f}'(t_0)$. Cela définit géométriquement la tangente. $\blacksquare$
Reparamétrage et Abscisse Curviligne
Les **arcs réguliers** permettent un changement de paramètre canonique : l’abscisse curviligne.
Théorème de l’abscisse curviligne
Soit $(I, \vec{f})$ un arc régulier de classe $\mathcal{C}^1$. Fixons $t_0 \in I$. La fonction abscisse curviligne $s : I \to \mathbb{R}$ définie par :
$$ s(t) = \int_{t_0}^t \| \vec{f}'(u) \| \, du $$est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $I$ sur son image $J = s(I)$.
Preuve :
La fonction $u \mapsto \| \vec{f}'(u) \|$ est continue car $\vec{f}$ est $\mathcal{C}^1$. D’après le théorème fondamental de l’analyse, $s$ est dérivable et :
$$ s'(t) = \| \vec{f}'(t) \| $$Puisque l’arc est régulier, $\forall t \in I, \| \vec{f}'(t) \| > 0$. Donc $s'(t) > 0$. La fonction $s$ est strictement croissante sur l’intervalle $I$.
Par le théorème de la bijection monotone, $s$ réalise une bijection de $I$ sur $J$. De plus, $s’ \neq 0$ garantit que $s^{-1}$ est aussi dérivable. Ainsi, $s$ est un difféomorphisme. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples d’arcs réguliers
Il est crucial de distinguer les **arcs réguliers** des arcs présentant des singularités géométriques.
Exemple 1 : L’Hélice Circulaire
Considérons l’application $\vec{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ définie par :
$$ \vec{f}(t) = (R \cos t, R \sin t, h t), \quad R > 0, h \neq 0 $$Calculons le vecteur dérivé :
$$ \vec{f}'(t) = (-R \sin t, R \cos t, h) $$Calculons sa norme euclidienne :
$$ \| \vec{f}'(t) \|^2 = (-R \sin t)^2 + (R \cos t)^2 + h^2 = R^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + h^2 = R^2 + h^2 $$Puisque $R > 0$ et $h \neq 0$, nous avons $\| \vec{f}'(t) \| = \sqrt{R^2 + h^2} > 0$ pour tout $t$. C’est un arc régulier constant.
Contre-exemple : La Parabole semi-cubique (Cuspide)
Soit l’arc défini par $\vec{g} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ :
$$ \vec{g}(t) = (t^2, t^3) $$Le vecteur dérivé est :
$$ \vec{g}'(t) = (2t, 3t^2) $$Étudions le point $t = 0$ :
$$ \vec{g}'(0) = (2(0), 3(0)^2) = (0, 0) = \vec{0} $$Le point $t=0$ est un point singulier. L’arc n’est pas régulier. Géométriquement, la courbe présente un point de rebroussement (cuspide) à l’origine. La tangente ne peut pas être définie simplement par le vecteur vitesse, car celui-ci s’annule.