L’étude de la parabole révèle une courbe du second degré fondamentale définie par l’équidistance entre un point focal et une droite directrice. Cette configuration géométrique engendre des propriétés optiques et analytiques uniques essentielles en mécanique et en optique géométrique.
Définition géométrique et équation cartésienne
Soit $\mathcal{P}$ un plan euclidien. Fixons un point $F$ appelé foyer et une droite $\mathcal{D}$ appelée directrice, tels que $F \notin \mathcal{D}$. La parabole de foyer $F$ et de directrice $\mathcal{D}$ est l’ensemble des points $M$ du plan vérifiant :
$$ d(M, F) = d(M, \mathcal{D}) $$Où $d(M, F)$ désigne la distance euclidienne et $d(M, \mathcal{D})$ la distance orthogonale du point à la droite. Cette définition monofocale caractérise exclusivement les coniques d’excentricité $e=1$.
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ choisi tel que l’axe des abscisses soit l’axe de symétrie passant par $F$ et perpendiculaire à $\mathcal{D}$, et l’origine $O$ soit le sommet (milieu du segment joignant $F$ à sa projection sur $\mathcal{D}$), les coordonnées sont :
$$ F\left(\frac{p}{2}, 0\right) \quad \text{et} \quad \mathcal{D}: x = -\frac{p}{2} $$Le paramètre $p > 0$ représente la distance focale (distance entre le foyer et la directrice). L’équation réduite canonique s’écrit :
$$ y^2 = 2px $$Cette forme met en évidence la symétrie par rapport à l’axe $(Ox)$. Toute parabole du plan est isométrique à cette forme canonique après un changement de repère orthonormé.
Équation fonctionnelle et paramétrage
Si l’on choisit un repère où l’axe de symétrie est vertical, l’équation prend la forme fonctionnelle classique étudiée en analyse :
$$ y = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0 $$Par translation et mise sous forme canonique, on retrouve la relation $Y = \frac{1}{2p}X^2$. Un paramétrage rationnel naturel de la parabole canonique $y^2=2px$ est donné par :
$$ \begin{cases} x(t) = \frac{p}{2}t^2 \\ y(t) = pt \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R} $$Ce paramétrage couvre toute la courbe bijectivement. Le paramètre $t$ correspond à la pente de la tangente au point considéré divisée par une constante liée à $p$.
Propriétés métriques et tangentes
Les propriétés locales de la parabole, notamment concernant ses tangentes et ses normales, découlent directement de sa définition équidistante.
Propriété de la tangente et bissectrice
Soit $M$ un point de la parabole et $H$ son projeté orthogonal sur la directrice $\mathcal{D}$. La tangente $\mathcal{T}_M$ à la parabole en $M$ est la médiatrice du segment $[FH]$.
Démonstration : Considérons la fonction $f(P) = d(P,F)^2 – d(P,\mathcal{D})^2$. La parabole est la ligne de niveau 0. Le gradient de cette fonction en $M$ est normal à la tangente.
Géométriquement, le triangle $MFH$ est isocèle en $M$ car $MF=MH$. La médiatrice de $[FH]$ passe donc par $M$. De plus, tout point $Q$ de cette médiatrice vérifie $QF=QH \geq d(Q, \mathcal{D})$, avec égalité seulement si $Q=M$.
Ainsi, la droite ne recoupe pas la parabole localement ; c’est bien la tangente. Une conséquence immédiate est que la tangente est la bissectrice de l’angle $\widehat{FMH}$.
Propriété optique (réflexion)
La propriété de la bissectrice implique une loi de réflexion fondamentale. Puisque la tangente bissecte l’angle formé par le rayon focal $MF$ et la parallèle à l’axe issue de $M$ (direction $MH$), tout rayon lumineux arrivant parallèlement à l’axe de symétrie se réfléchit vers le foyer $F$.
Réciproquement, toute onde émise depuis le foyer $F$ est réfléchie par la surface parabolique en un faisceau de rayons parallèles à l’axe. Ce théorème justifie l’utilisation de la parabole dans les projecteurs, les antennes satellites et les télescopes réflecteurs.
Équation de la tangente et de la normale
Pour la parabole $y^2 = 2px$, l’équation de la tangente au point $M_0(x_0, y_0)$ s’obtient par la règle du dédoublement des termes :
$$ y_0 y = p(x + x_0) $$La normale $\mathcal{N}_{M_0}$, perpendiculaire à la tangente en $M_0$, a pour équation :
$$ y – y_0 = -\frac{y_0}{p}(x – x_0) $$L’intersection de la normale avec l’axe de symétrie ($y=0$) définit le centre de courbure local, permettant d’étudier le cercle osculateur.
Théorèmes fondamentaux sur La parabole
Plusieurs théorèmes classiques caractérisent la structure globale de la parabole et ses relations avec les droites du plan.
Théorème de la sous-tangente et sous-normale
Soit $M$ un point de la parabole, $P$ son projeté orthogonal sur l’axe de symétrie, $T$ l’intersection de la tangente avec l’axe, et $N$ l’intersection de la normale avec l’axe.
Le segment $[TP]$ est la sous-tangente et $[PN]$ la sous-normale. Pour la parabole, ces longueurs possèdent des propriétés remarquables :
- Le sommet $O$ est le milieu de la sous-tangente : $TO = OP = x_0$.
- La longueur de la sous-normale est constante et égale au paramètre $p$ : $PN = p$.
Preuve de la constance de la sous-normale : L’équation de la normale est $y = -\frac{y_0}{p}(x-x_0) + y_0$. En posant $y=0$, on trouve $x_N = x_0 + p$. Comme $x_P = x_0$, la distance algébrique $\overline{PN} = x_N – x_P = p$. $\blacksquare$
Théorème d’Archimède sur l’aire
Archimède a démontré que l’aire du segment parabolique délimité par une corde $[AB]$ et l’arc de parabole est égale aux deux tiers de l’aire du triangle inscrit ayant même base et même hauteur (sommet au point où la tangente est parallèle à la corde).
Si $h$ est la flèche (distance maximale entre la corde et la courbe) et $L$ la longueur de la corde projetée sur l’axe perpendiculaire, l’aire $\mathcal{A}$ vaut :
$$ \mathcal{A} = \frac{2}{3} L h $$Ce résultat préfigure le calcul intégral moderne. Il se démontre aujourd’hui facilement par intégration de la fonction quadratique entre les bornes d’intersection.
Propriété des cordes focales
Toute corde passant par le foyer $F$ est appelée corde focale. Si une corde focale coupe la parabole en $A$ et $B$, alors les tangentes en $A$ et $B$ sont perpendiculaires et se coupent sur la directrice $\mathcal{D}$.
Réciproquement, le lieu géométrique des intersections de tangentes orthogonales à une parabole est exactement sa directrice. Ce lieu est appelé la directrice orthoptique.
Exemples concrets et applications physiques
Illustrons la théorie par des exemples numériques et des situations physiques modélisées par la parabole.
Exemple 1 : Trajectoire balistique
Dans un champ de pesanteur uniforme $\vec{g}$, un projectile lancé avec une vitesse initiale $\vec{v}_0$ depuis l’origine suit une trajectoire parabolique (en négligeant les frottements).
Les équations horaires sont $x(t) = v_{0x}t$ et $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t$. En éliminant $t$, on obtient l’équation cartésienne :
$$ y = -\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}}x $$C’est bien une équation du type $y=ax^2+bx$. Le sommet de cette parabole correspond à l’altitude maximale atteinte par le projectile, où la composante verticale de la vitesse s’annule.
Exemple 2 : Calcul de foyer et directrice
Soit la parabole d’équation $y = 2x^2 – 4x + 5$. Déterminons ses éléments caractéristiques.
Misons sous forme canonique : $y = 2(x^2 – 2x) + 5 = 2((x-1)^2 – 1) + 5 = 2(x-1)^2 + 3$.
Nous avons $(x-1)^2 = \frac{1}{2}(y-3)$. Par identification avec $(X)^2 = 2pY$, nous avons $2p = \frac{1}{2}$, donc $p = \frac{1}{4}$.
Le sommet est $S(1, 3)$. L’axe de symétrie est la droite $x=1$. Le foyer $F$ est situé à une distance $p/2 = 1/8$ du sommet vers l’intérieur de la courbe (vers les $y$ croissants) :
$$ F\left(1, 3 + \frac{1}{8}\right) = \left(1, \frac{25}{8}\right) $$La directrice $\mathcal{D}$ est la droite horizontale située à $p/2$ en dessous du sommet :
$$ y = 3 – \frac{1}{8} = \frac{23}{8} $$Contre-exemple : Confusion avec la chaînette
Il est fréquent de confondre la parabole avec la chaînette (courbe décrite par un câble homogène pesant suspendu entre deux points).
L’équation de la chaînette fait intervenir la fonction cosinus hyperbolique : $y = a \cosh(x/a)$. Bien que visuellement similaires près du sommet, leurs croissances asymptotiques diffèrent radicalement (exponentielle pour la chaînette, polynomiale pour la parabole).
Un pont suspendu dont les câbles supportent un tablier horizontal (charge répartie uniformément selon l’horizontale) prend cependant une forme parabolique, et non caténaire.
Généralisation et contexte projectif
Dans le cadre de la géométrie projective, la parabole perd son statut exceptionnel pour devenir une ellipse tangent à la droite de l’infini.
Intersection avec la droite à l’infini
L’équation homogène de $y^2 = 2px$ est $y^2 – 2pxz = 0$ (en notant $x,y,z$ les coordonnées homogènes usuelles ou $Y^2=2pXZ$). L’intersection avec la droite à l’infini $z=0$ donne :
$$ y^2 = 0 \implies y = 0 $$La solution est le point unique $[1:0:0]$ (direction de l’axe des $x$) avec une multiplicité 2. Cela signifie que la parabole est tangente à la droite de l’infini.
Cette propriété unifie la classification des coniques : l’ellipse ne coupe pas la droite à l’infini, l’hyperbole la coupe en deux points distincts, et la parabole la touche en un point double.
Conclusion synthétique
La parabole se distingue comme la conique d’excentricité unité, définie par l’égalité des distances au foyer et à la directrice. Ses propriétés métriques, notamment la constance de la sous-normale et ses capacités de réflexion focalisante, en font un objet central en physique appliquée.
De la trajectoire des projectiles à l’optique instrumentale, en passant par l’optimisation quadratique, la maîtrise de ses équations et théorèmes associés demeure indispensable pour l’ingénieur et le mathématicien.