Les Coordonnées homogènes constituent le système de représentation fondamental de la géométrie projective, permettant d’unifier le traitement des points finis et des points à l’infini par une notation vectorielle unique. Ce formalisme élimine les exceptions liées au parallélisme en étendant l’espace affine via un plongement dans un espace vectoriel de dimension supérieure.
Définition formelle et construction algébrique
Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif et $E$ un espace vectoriel de dimension $n+1$ sur $\mathbb{K}$. L’espace projectif $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ est défini comme l’ensemble des droites vectorielles de $E$ passant par l’origine.
Un point $M \in \mathbb{P}^n(\mathbb{K})$ est représenté par une classe d’équivalence de vecteurs non nuls de $E$. Si $\vec{u} = (x_0, x_1, \dots, x_n) \in E \setminus \{\vec{0}\}$, alors les Coordonnées homogènes de $M$ sont la famille de scalaires :
$$ M = [x_0 : x_1 : \dots : x_n] $$Ces coordonnées satisfont la relation d’équivalence fondamentale suivante pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}^*$ :
$$ [x_0 : x_1 : \dots : x_n] = [\lambda x_0 : \lambda x_1 : \dots : \lambda x_n] $$Il est crucial de noter que le vecteur nul $(0, 0, \dots, 0)$ ne représente aucun point de l’espace projectif. La notation utilise des crochets et des deux-points pour souligner cette nature relative.
Lien entre espace affine et projectif
L’espace affine usuel $\mathbb{A}^n$ s’injecte naturellement dans $\mathbb{P}^n$. Pour un point affine de coordonnées cartésiennes $(X_1, \dots, X_n)$, ses coordonnées homogènes associées sont :
$$ [1 : X_1 : \dots : X_n] $$Réciproquement, tout point projectif $[x_0 : x_1 : \dots : x_n]$ tel que $x_0 \neq 0$ correspond à un point affine unique obtenu par déshomogénéisation :
$$ X_i = \frac{x_i}{x_0} \quad \text{pour } i = 1, \dots, n $$Si $x_0 = 0$, le point n’a pas d’image dans l’espace affine standard ; il représente un point à l’infini ou direction asymptotique.
Propriétés algébriques des Coordonnées homogènes
L’utilisation des Coordonnées homogènes transforme les équations géométriques en formes polynomiales homogènes, simplifiant considérablement l’analyse algébrique.
Homogénéité des équations
Une équation définissant une variété projective doit être homogène. Cela signifie que tous les termes du polynôme doivent avoir le même degré total.
Considérons une droite dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$. Son équation générale est linéaire et homogène :
$$ ax_0 + bx_1 + cx_2 = 0 $$Si l’on remplace $(x_0, x_1, x_2)$ par $(\lambda x_0, \lambda x_1, \lambda x_2)$, l’équation devient $\lambda(ax_0 + bx_1 + cx_2) = 0$. Puisque $\lambda \neq 0$, la vérité de l’équation est inchangée.
Cette propriété garantit que la définition géométrique est indépendante du représentant vectoriel choisi dans la classe d’équivalence.
Points à l’infini
La puissance majeure de ce système réside dans la gestion explicite de l’infini. Dans $\mathbb{P}^2$, la droite à l’infini $\Delta_\infty$ est définie par l’équation $x_0 = 0$.
Les points de cette droite ont pour coordonnées $[0 : x_1 : x_2]$. Ils correspondent aux directions des droites affines. Deux droites affines parallèles de vecteur directeur $(u, v)$ se coupent en un point unique à l’infini :
$$ P_\infty = [0 : u : v] $$Ainsi, le théorème « deux droites distinctes se coupent en un point unique » devient universel dans $\mathbb{P}^2$, sans exception pour le parallélisme.
Théorèmes fondamentaux et transformations
Les transformations géométriques les plus générales, les homographies, s’expriment naturellement via une action matricielle sur les Coordonnées homogènes.
Représentation matricielle des homographies
Une homographie $f : \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ est induite par un automorphisme linéaire $\tilde{f} : E \to E$. Si $A$ est la matrice $(n+1) \times (n+1)$ inversible associée à $\tilde{f}$, alors l’image d’un point $X$ est donnée par :
$$ Y = A X $$Où $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées homogènes. Explicitement :
$$ \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & \dots & a_{0n} \\ a_{10} & a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n0} & a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$Cette formulation linéaire inclut les translations, rotations, homothéties et projections perspectives, qui deviennent toutes des opérations linéaires dans l’espace des coordonnées homogènes.
Preuve de la conservation de l’alignement
Preuve : Trois points $A, B, C$ de $\mathbb{P}^2$ sont alignés si et seulement si leurs vecteurs représentants $\vec{u}_A, \vec{u}_B, \vec{u}_C$ sont linéairement dépendants dans $E$.
Cela équivaut à l’annulation du déterminant de la matrice formée par leurs coordonnées :
$$ \det(\vec{u}_A, \vec{u}_B, \vec{u}_C) = 0 $$Soit $f$ une homographie de matrice $A$. Les images ont pour vecteurs $A\vec{u}_A, A\vec{u}_B, A\vec{u}_C$. Calculons le nouveau déterminant :
$$ \det(A\vec{u}_A, A\vec{u}_B, A\vec{u}_C) = \det(A) \cdot \det(\vec{u}_A, \vec{u}_B, \vec{u}_C) $$Puisque $A$ est inversible, $\det(A) \neq 0$. Par conséquent, le déterminant est nul si et seulement si le déterminant initial l’était.
L’alignement est donc conservé par toute homographie. $\blacksquare$
Exemples concrets de calculs
Illustrons l’usage pratique des Coordonnées homogènes par des exemples numériques montrant la résolution de problèmes d’intersection et de transformation.
Exemple 1 : Intersection de deux droites parallèles
Considérons dans le plan affine deux droites parallèles d’équations $y = 2x + 1$ et $y = 2x – 3$. Homogénéisons ces équations en posant $x = x_1/x_0$ et $y = x_2/x_0$ :
$$ \frac{x_2}{x_0} = 2\frac{x_1}{x_0} + 1 \implies x_2 – 2x_1 – x_0 = 0 $$ $$ \frac{x_2}{x_0} = 2\frac{x_1}{x_0} – 3 \implies x_2 – 2x_1 + 3x_0 = 0 $$Résolvons le système linéaire homogène :
$$ \begin{cases} -x_0 – 2x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_0 – 2x_1 + x_2 = 0 \end{cases} $$En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient $4x_0 = 0$, donc $x_0 = 0$. En reportant, on trouve $-2x_1 + x_2 = 0$, soit $x_2 = 2x_1$.
Le point d’intersection a pour coordonnées homogènes $[0 : 1 : 2]$. C’est un point à l’infini correspondant à la pente 2, confirmant que les droites se coupent bien dans le plan projectif.
Exemple 2 : Équation d’une conique projective
L’équation affine d’un cercle unité est $x^2 + y^2 = 1$. Pour obtenir son équation projective, on substitue les coordonnées homogènes :
$$ \left(\frac{x_1}{x_0}\right)^2 + \left(\frac{x_2}{x_0}\right)^2 = 1 $$En multipliant par $x_0^2$ pour chasser le dénominateur, on obtient la forme homogène de degré 2 :
$$ x_1^2 + x_2^2 – x_0^2 = 0 $$Cherchons les intersections avec la droite à l’infini $x_0 = 0$. L’équation devient $x_1^2 + x_2^2 = 0$.
Dans $\mathbb{R}$, la seule solution est $x_1=x_2=0$, ce qui est impossible car le vecteur nul est exclu. Le cercle réel ne coupe pas la droite à l’infini (il est une ellipse).
Dans $\mathbb{C}$, les solutions sont $[0 : 1 : i]$ et $[0 : 1 : -i]$. Ce sont les points cycliques, communs à tous les cercles du plan complexe.
Contre-exemple : Mauvaise homogénéisation
Une erreur fréquente consiste à homogénéiser incorrectement une équation non polynomiale ou à oublier le degré. Considérons $y = x^2 + x$.
L’homogénéisation correcte donne $\frac{x_2}{x_0} = \frac{x_1^2}{x_0^2} + \frac{x_1}{x_0}$. Multiplié par $x_0^2$, cela donne $x_0 x_2 = x_1^2 + x_0 x_1$.
Tous les termes sont de degré 2. Si l’on avait écrit $x_2 = x_1^2 + x_1$, les degrés seraient mélangés (2 et 1), rendant l’équation dépendante du facteur d’échelle $\lambda$, ce qui est interdit en géométrie projective.
Applications en géométrie algorithmique
Les Coordonnées homogènes sont indispensables en infographie 3D et en vision par ordinateur pour gérer les transformations perspectives.
Matrices de projection perspective
Dans un pipeline graphique, la projection d’une scène 3D sur un écran 2D s’effectue via une matrice $4 \times 4$ agissant sur des coordonnées homogènes $(x, y, z, w)$.
Une matrice de projection typique modifie la composante $w$ en fonction de la profondeur $z$ :
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/d & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ z/d \end{pmatrix} $$La division perspective finale $(x’, y’, z’) = (x/w, y/w, z/w)$ réalise automatiquement l’effet de rapprochement des objets lointains, impossible à exprimer par une simple matrice affine $3 \times 3$.
Interpolation et barycentres
Le calcul des barycentres dans un contexte projectif nécessite de pondérer les coordonnées homogènes correctement. Le barycentre de points pondérés n’est pas la somme directe des vecteurs représentants si ceux-ci n’ont pas été normalisés préalablement.
Cependant, la combinaison linéaire de vecteurs reste valide pour définir des sous-espaces. L’interpolation linéaire dans l’espace des textures ou des couleurs utilise souvent cette propriété de linéarité des coordonnées homogènes avant la division finale.
Conclusion sur les Coordonnées homogènes
Les Coordonnées homogènes offrent un cadre mathématique élégant et robuste pour la géométrie projective. Elles unifient les concepts affins et projectifs en intégrant l’infini dans une structure algébrique cohérente.
Leur capacité à transformer des transformations non linéaires (comme la perspective) en opérations linéaires matricielles en fait un outil incontournable tant pour la théorie géométrique pure que pour les applications computationnelles modernes.