Les Sous-espaces projectifs constituent les briques élémentaires de la géométrie d’incidence, définis comme les images de sous-espaces vectoriels par la projection canonique. Leur étude repose entièrement sur la correspondance bijective entre la structure linéaire de l’espace ambiant et la géométrie du quotient.
Définition formelle et construction vectorielle
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n+1$ sur un corps $\mathbb{K}$. L’espace projectif associé est $\mathbb{P}(E) = (E \setminus \{\vec{0}\}) / \sim$, où $\sim$ désigne la colinéarité.
Un sous-espace projectif de $\mathbb{P}(E)$ est défini comme l’image par la projection canonique $\pi : E \setminus \{\vec{0}\} \to \mathbb{P}(E)$ d’un sous-espace vectoriel $F \subseteq E$ tel que $F \neq \{\vec{0}\}$.
On note ce sous-espace :
$$ \mathbb{P}(F) = \{ [\vec{u}] \in \mathbb{P}(E) \mid \vec{u} \in F \setminus \{\vec{0}\} \} $$La dimension d’un sous-espace projectif est définie par relation à celle de son espace directeur vectoriel :
$$ \dim(\mathbb{P}(F)) = \dim(F) – 1 $$Ainsi, un sous-espace vectoriel de dimension 1 (une droite vectorielle) donne un point projectif (dimension 0). Un plan vectoriel (dimension 2) donne une droite projective (dimension 1).
Classification par dimension
La terminologie des Sous-espaces projectifs suit une échelle décalée par rapport à l’algèbre linéaire classique :
- Point : Sous-espace de dimension 0 ($\dim(F)=1$).
- Droite projective : Sous-espace de dimension 1 ($\dim(F)=2$).
- Plan projectif : Sous-espace de dimension 2 ($\dim(F)=3$).
- Hyperplan projectif : Sous-espace de dimension $n-1$ dans $\mathbb{P}^n$ ($\dim(F)=n$).
Cette hiérarchie est fondamentale pour énoncer les théorèmes d’incidence sans exception liée au parallélisme.
Théorème de la dimension projective
La propriété centrale régissant l’intersection et la réunion des Sous-espaces projectifs est une adaptation directe de la formule de Grassmann des espaces vectoriels.
Énoncé du théorème
Soient $A$ et $B$ deux sous-espaces projectifs de $\mathbb{P}(E)$. Notons $\text{Vect}(A \cup B)$ le plus petit sous-espace projectif contenant $A$ et $B$ (leur jointure). Alors :
$$ \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B) – \dim(\text{Vect}(A \cup B)) $$Puisque $\text{Vect}(A \cup B)$ est inclus dans l’espace ambiant $\mathbb{P}^n$, sa dimension est majorée par $n$. On en déduit l’inégalité fondamentale :
$$ \dim(A \cap B) \geq \dim(A) + \dim(B) – n $$Ce résultat garantit l’existence d’intersections non vides dès que la somme des dimensions dépasse la dimension de l’espace ambiant.
Démonstration rigoureuse
Preuve : Soient $F_A$ et $F_B$ les sous-espaces vectoriels directeurs de $A$ et $B$ respectivement. Par définition, $A = \mathbb{P}(F_A)$ et $B = \mathbb{P}(F_B)$.
L’intersection projective $A \cap B$ correspond exactement au projectivisé de l’intersection vectorielle :
$$ A \cap B = \mathbb{P}(F_A \cap F_B) $$De même, la jointure projective correspond au projectivisé de la somme vectorielle :
$$ \text{Vect}(A \cup B) = \mathbb{P}(F_A + F_B) $$Appliquons la formule de Grassmann aux espaces vectoriels $F_A$ et $F_B$ :
$$ \dim(F_A \cap F_B) = \dim(F_A) + \dim(F_B) – \dim(F_A + F_B) $$Utilisons la relation $\dim(\mathbb{P}(V)) = \dim(V) – 1$, soit $\dim(V) = \dim(\mathbb{P}(V)) + 1$. Substituons dans l’équation précédente :
$$ (\dim(A \cap B) + 1) = (\dim(A) + 1) + (\dim(B) + 1) – (\dim(\text{Vect}(A \cup B)) + 1) $$En simplifiant les termes constants ($1 + 1 + 1 – 1 = 2$ à gauche, $2$ à droite après réarrangement), on obtient :
$$ \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B) – \dim(\text{Vect}(A \cup B)) $$L’égalité est démontrée. $\blacksquare$
Propriétés d’incidence et corollaires
Les conséquences du théorème de la dimension structurent toute la géométrie projective. Elles éliminent les cas de parallelisme rencontrés en géométrie affine.
Intersection de deux droites dans le plan
Dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (où $n=2$), considérons deux droites distinctes $D_1$ et $D_2$. Nous avons $\dim(D_1) = 1$ et $\dim(D_2) = 1$.
Appliquons l’inégalité :
$$ \dim(D_1 \cap D_2) \geq 1 + 1 – 2 = 0 $$L’intersection a donc une dimension au moins égale à 0. Elle contient au moins un point.
Si les droites sont distinctes, elles ne peuvent coïncider (dimension 1). Leur intersection est donc exactement un point unique. Ce théorème unifie les cas sécants et parallèles de la géométrie euclidienne.
Intersection d’une droite et d’un plan dans l’espace
Dans l’espace projectif $\mathbb{P}^3$ ($n=3$), considérons une droite $D$ ($\dim=1$) et un plan $\Pi$ ($\dim=2$).
Le calcul donne :
$$ \dim(D \cap \Pi) \geq 1 + 2 – 3 = 0 $$Toute droite perce tout plan en au moins un point dans l’Espace projectif. Si la droite est incluse dans le plan, l’intersection est la droite elle-même (dimension 1). Sinon, c’est un point unique.
Cette propriété simplifie drastiquement les algorithmes de tracé de rayons (ray tracing) en infographie, car le test d’intersection ne retourne jamais « vide ».
Équations cartésiennes des sous-espaces
La représentation analytique des Sous-espaces projectifs utilise des systèmes d’équations linéaires homogènes, reflétant leur origine vectorielle.
Définition par équations linéaires
Un sous-espace projectif de dimension $k$ dans $\mathbb{P}^n$ peut être défini comme l’ensemble des solutions d’un système homogène de $n-k$ équations linéaires indépendantes.
Soit $(x_0 : \dots : x_n)$ les coordonnées homogènes. Un hyperplan ($k=n-1$) est défini par une seule équation :
$$ a_0 x_0 + a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0 $$Où les coefficients $a_i$ ne sont pas tous nuls. Une droite dans $\mathbb{P}^3$ ($k=1, n=3$) nécessite $3-1=2$ équations linéaires indépendantes :
$$ \begin{cases} \sum_{i=0}^3 a_i x_i = 0 \\ \sum_{i=0}^3 b_i x_i = 0 \end{cases} $$Le rang du système matriciel associé détermine précisément la dimension du sous-espace solution.
Dualité et équations tangentielles
Par le principe de dualité, un sous-espace de dimension $k$ peut aussi être vu comme l’enveloppe d’une famille d’hyperplans. Les coefficients des équations définissant le sous-espace peuvent eux-mêmes être interprétés comme des coordonnées dans l’espace dual.
Cette symétrie permet de transformer tout théorème sur l’intersection de sous-espaces en un théorème sur la jointure de leurs duaux.
Exemples concrets et calculs
Illustrons ces concepts par des exemples numériques explicites dans des espaces de faible dimension.
Exemple 1 : Intersection de deux plans dans $\mathbb{P}^3$
Considérons dans $\mathbb{P}^3$ deux plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ d’équations respectives :
$$ \Pi_1 : x_0 + x_1 – x_2 = 0 $$ $$ \Pi_2 : x_1 + x_2 – x_3 = 0 $$Nous cherchons l’intersection $\Pi_1 \cap \Pi_2$. Résolvons le système linéaire homogène :
$$ \begin{cases} x_0 = x_2 – x_1 \\ x_3 = x_1 + x_2 \end{cases} $$Les variables $x_1$ et $x_2$ sont libres. Posons $x_1 = \lambda$ et $x_2 = \mu$. Alors :
$$ x_0 = \mu – \lambda, \quad x_3 = \lambda + \mu $$L’ensemble des solutions est paramétré par deux scalaires :
$$ [\mu – \lambda : \lambda : \mu : \lambda + \mu] = \lambda[-1:1:0:1] + \mu[1:0:1:1] $$Cela décrit la droite projective passant par les points $A[-1:1:0:1]$ et $B[1:0:1:1]$. La dimension est bien $1$, conforme au théorème ($2+2-3=1$).
Exemple 2 : Droite joignant deux points
Soient deux points distincts $A[1:0:1]$ et $B[0:1:1]$ dans $\mathbb{P}^2$. La droite $D = \text{Vect}(A, B)$ est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs représentants.
Un point $M[x:y:z]$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $(1,0,1)$, $(0,1,1)$ et $(x,y,z)$ sont liés. Le déterminant doit être nul :
$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 1 & 1 & z \end{pmatrix} = 0 $$Développons le déterminant :
$$ 1(z – y) – 0 + x(0 – 1) = z – y – x = 0 $$L’équation de la droite est donc $x + y – z = 0$. Cette méthode générale permet de trouver l’équation d’un sous-espace engendré par $k+1$ points.
Contre-exemple : Ensemble non linéaire
Considérons l’ensemble des points satisfaisant $x_0 x_1 = 0$ dans $\mathbb{P}^2$. Cet ensemble est la réunion de deux droites ($x_0=0$ et $x_1=0$).
Bien que composé de sous-espaces, la réunion elle-même n’est pas un sous-espace projectif car elle n’est pas stable par combinaison linéaire globale (la somme d’un vecteur de la première droite et d’un vecteur de la seconde ne vérifie pas nécessairement l’équation produit).
Un sous-espace projectif doit être irréductible et défini par des équations linéaires, non quadratiques.
Applications en géométrie algorithmique
La manipulation efficace des Sous-espaces projectifs est cruciale en vision par ordinateur et en reconstruction 3D.
Triangulation et épipolaire
En stéréovision, la contrainte épipolaire stipule que le point correspondant à un point image dans une seconde caméra se trouve sur une droite spécifique (la droite épipolaire).
Cette droite est l’intersection du plan épipolaire (sous-espace de dimension 2 dans $\mathbb{P}^3$) avec le plan image (un autre sous-espace de dimension 2). Leur intersection est une droite (dimension 1), garantissant la réduction de la recherche de correspondance à une ligne.
Reconstruction de sous-espaces par SVD
Pour ajuster un sous-espace projectif à un nuage de points bruités, on utilise la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) sur la matrice des coordonnées homogènes.
Le sous-espace de meilleure approximation au sens des moindres carrés correspond aux vecteurs singuliers associés aux plus grandes valeurs singulières. Cette méthode robuste repose entièrement sur la structure linéaire sous-jacente aux Sous-espaces projectifs.
Conclusion synthétique
Les Sous-espaces projectifs offrent une structure géométrique rigoureuse où l’incidence est régie par de simples règles de dimension issues de l’algèbre linéaire. Leur définition par quotient assure une cohérence parfaite entre équations homogènes et objets géométriques.
La maîtrise de leurs propriétés d’intersection et de leur représentation matricielle est indispensable pour aborder la géométrie algébrique moderne, la théorie des codes correcteurs et les applications avancées en imagerie numérique.