Le Birapport constitue l’invariant fondamental de la géométrie projective, préservé par les homographies. Cette notion permet de caractériser rigoureusement les configurations de quatre points alignés ou de quatre droites concourantes.
Définition formelle du Birapport sur une droite
Considérons une droite projective $D$ munie d’un repère projectif $(A, B, I)$. Soient $M$ et $N$ deux points distincts de $D$, différents de $A$ et $B$. Nous définissons le birapport des quatre points $(A, B, M, N)$.
Notons $x_M$ et $x_N$ les abscisses projectives (ou affines si $I$ est à l’infini) des points $M$ et $N$ dans ce repère. La définition analytique s’écrit :
$$ [A, B, M, N] = \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} : \frac{\overline{NA}}{\overline{NB}} $$Dans un cadre vectoriel, soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs directeurs associés aux points $A$ et $B$. Si $M = A + x_M \vec{u}$ et $N = A + x_N \vec{u}$, alors :
$$ [A, B, M, N] = \frac{x_M}{x_M – 1} \cdot \frac{x_N – 1}{x_N} $$Cette quantité est indépendante du choix du repère projectif sur la droite $D$. Elle prend ses valeurs dans le corps des scalaires $\mathbb{K}$ augmenté de l’infini.
Cas particuliers et valeurs remarquables
L’ordre des points influence la valeur du birapport. Permuter deux points modifie la valeur selon des règles algébriques précises. Si $\lambda = [A, B, M, N]$, alors :
- $[B, A, M, N] = \frac{1}{\lambda}$
- $[A, B, N, M] = \frac{1}{\lambda}$
- $[B, A, N, M] = \lambda$
- $[A, M, B, N] = 1 – \lambda$
Une configuration spéciale mérite une attention particulière : la division harmonique. On dit que les points $M$ et $N$ divisent harmoniquement le segment $[AB]$ si leur birapport vaut $-1$.
$$ [A, B, M, N] = -1 $$Ce cas correspond géométriquement au conjugué harmonique. En analyse, cela relie les séries harmoniques aux propriétés projectives.
Théorème d’invariance du Birapport par homographie
Le théorème central de la géométrie projective affirme que le birapport est conservé par toute application projective. Soit $f : D \to D’$ une homographie entre deux droites projectives.
Pour tous points $A, B, M, N \in D$, l’égalité suivante est vérifiée :
$$ [f(A), f(B), f(M), f(N)] = [A, B, M, N] $$Ce résultat fonde la définition axiomatique des espaces projectifs. Il garantit que la structure projective est entièrement déterminée par la conservation de cet invariant.
Preuve de l’invariance projective
Preuve : Une homographie $f$ entre deux droites peut se représenter par une matrice $2 \times 2$ inversible $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ agissant sur les coordonnées homogènes.
Soient $X_A, X_B, X_M, X_N$ les vecteurs colonnes des coordonnées homogènes des points. L’image d’un point $X$ est donnée par $X’ = P X$ (à un scalaire près).
Exprimons le birapport en fonction des déterminants. Pour quatre vecteurs $U, V, W, Z$ dans un plan vectoriel de dimension 2, on a la relation :
$$ [U, V, W, Z] = \frac{\det(U, W) \det(V, Z)}{\det(U, Z) \det(V, W)} $$Appliquons la transformation linéaire $P$. Rappelons que $\det(PU, PV) = \det(P) \det(U, V)$. Calculons le numérateur du birapport image :
$$ \det(PU, PW) \det(PV, PZ) = (\det(P) \det(U, W)) (\det(P) \det(V, Z)) = \det(P)^2 \det(U, W) \det(V, Z) $$Le dénominateur subit la même multiplication par $\det(P)^2$. Par conséquent, le facteur $\det(P)^2$ se simplifie dans le quotient.
$$ \frac{\det(P)^2 \det(U, W) \det(V, Z)}{\det(P)^2 \det(U, Z) \det(V, W)} = \frac{\det(U, W) \det(V, Z)}{\det(U, Z) \det(V, W)} $$L’égalité est démontrée. Le birapport reste inchangé. $\blacksquare$
Birapport de quatre droites concourantes
Considérons un faisceau de quatre droites $(d_1, d_2, d_3, d_4)$ passant par un sommet commun $S$. Définissons le birapport de ces droites.
Soit $D$ une droite sécante ne passant pas par $S$. Notons $A, B, M, N$ les points d’intersection respectifs de $D$ avec $d_1, d_2, d_3, d_4$. Le birapport des droites est défini comme :
$$ [d_1, d_2, d_3, d_4] = [A, B, M, N] $$Cette définition est cohérente car la projection centrale depuis $S$ est une homographie. La valeur ne dépend pas du choix de la droite sécante $D$.
Expression trigonométrique du Birapport
Dans le plan euclidien, nous pouvons exprimer cet invariant à l’aide des angles orientés. Notons $(d_i, d_j)$ l’angle orienté entre les droites $d_i$ et $d_j$.
La formule trigonométrique s’écrit :
$$ [d_1, d_2, d_3, d_4] = \frac{\sin(d_1, d_3)}{\sin(d_1, d_4)} \cdot \frac{\sin(d_2, d_4)}{\sin(d_2, d_3)} $$Cette expression met en évidence la nature angulaire de l’invariant projectif dans le plan réel. Elle facilite les calculs pratiques en géométrie élémentaire.
Exemples concrets et applications
Illustrons ces concepts par des exemples numériques et géométriques précis. Ces cas montrent l’utilité du calcul du birapport.
Exemple 1 : Calcul sur l’axe réel
Soit la droite réelle $\mathbb{R}$. Prenons les points d’abscisses $A=0$, $B=1$, $M=2$ et $N=3$. Calculons directement le birapport $(A, B, M, N)$.
Utilisons la formule des mesures algébriques :
$$ [0, 1, 2, 3] = \frac{2-0}{2-1} : \frac{3-0}{3-1} = \frac{2}{1} : \frac{3}{2} $$Effectuons le calcul du quotient :
$$ 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$Le birapport de ces quatre points équidistants n’est pas égal à 1. Cela confirme que l’équidistance n’est pas une propriété projective.
Exemple 2 : Division harmonique et point à l’infini
Considérons un segment $[AB]$ de milieu $I$. Cherchons le point $J$ tel que $(A, B, I, J)$ forme une division harmonique.
Nous imposons la condition $[A, B, I, J] = -1$. Plaçons-nous dans un repère où $A$ a pour abscisse $-1$ et $B$ a pour abscisse $1$. Alors $I$ a pour abscisse $0$.
Notons $x$ l’abscisse de $J$. Appliquons la formule :
$$ \frac{0 – (-1)}{0 – 1} : \frac{x – (-1)}{x – 1} = -1 $$Simplifions le premier terme qui vaut $-1$. L’équation devient :
$$ -1 : \frac{x+1}{x-1} = -1 \implies \frac{x+1}{x-1} = 1 $$Cette équation implique $x+1 = x-1$, soit $1 = -1$, ce qui est impossible dans $\mathbb{R}$. La seule solution se trouve dans la complétion projective.
Par conséquent, le point $J$ est le point à l’infini de la droite $(AB)$. Le milieu d’un segment et le point à l’infini divisent harmoniquement ce segment.
Contre-exemple : Conservation par une application non linéaire
Le birapport n’est conservé que par les homographies. Considérons l’application $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}^+$. Prenons les points $1, 2, 3, 4$.
Calculons le birapport initial $\lambda$. Puis calculons le birapport des images $1, 4, 9, 16$.
Les valeurs seront différentes. En effet, la fonction carré n’est pas une transformation projective (elle ne préserve pas les droites). Cela illustre la spécificité du groupe projectif.
Théorèmes classiques utilisant le Birapport
Plusieurs théorèmes majeurs de la géométrie reposent sur cette notion. Ils permettent de démontrer des alignements ou des concours de droites.
Théorème de Ceva projectif
Soit un triangle $ABC$ et trois céviennes $(AA’), (BB’), (CC’)$ concourantes en un point $P$. Les points $A’, B’, C’$ appartiennent respectivement aux côtés opposés.
La condition de concours s’exprime via le produit des birapports sur les côtés, ou plus classiquement par la relation métrique projetée :
$$ \frac{\overline{A’B}}{\overline{A’C}} \cdot \frac{\overline{B’C}}{\overline{B’A}} \cdot \frac{\overline{C’A}}{\overline{C’B}} = 1 $$Dans le langage du birapport complet incluant le point à l’infini, cette relation caractérise l’alignement des traces dans le dual.
Théorème de Pascal et hexagramme mystique
Soit six points $A, B, C, D, E, F$ situés sur une conique. Les intersections des côtés opposés de l’hexagone inscrit sont alignées.
La démonstration utilise la conservation du birapport sur la conique. Le birapport de quatre points sur une conique vu depuis un cinquième point de la conique est constant.
Soit $M$ et $N$ deux points variables sur la conique. Alors :
$$ [MA, MB, MC, MD] = [NA, NB, NC, ND] $$Cette égalité de birapports de droites issues de $M$ et $N$ force l’alignement des points d’intersection des cordes. C’est la clé de voûte de la géométrie des coniques.
Conclusion sur l’importance du Birapport
Le Birapport transcende la géométrie euclidienne classique. Il introduit une structure plus riche et plus flexible adaptée à la perspective et à l’analyse complexe.
Sa maîtrise est indispensable pour aborder les surfaces de Riemann, la théorie des groupes de Lie et la relativité générale. Il demeure l’outil privilégié pour classifier les configurations géométriques invariantes.