Les homographies constituent les transformations bijectives fondamentales agissant sur la géométrie des espaces projectifs. En effet, elles préservent structurellement l’alignement, l’incidence et la dimension des sous-espaces géométriques.
Définitions Formelles des Homographies
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de même dimension finie $n+1$ définis sur un corps commutatif $\mathbb{K}$. Considérons les espaces projectifs canoniquement associés, notés $\mathbb{P}(E)$ et $\mathbb{P}(F)$.
Une homographie est une bijection projective rigoureusement induite par un isomorphisme linéaire sous-jacent. Formellement, il existe une application linéaire bijective $f \in \mathcal{GL}(E, F)$ générant l’homographie $h$.
Pour tout point projectif $M$, représenté par un vecteur directeur non nul $\vec{x} \in E \setminus \{0\}$, l’application est définie par le passage au quotient :
$$ h : \mathbb{P}(E) \to \mathbb{P}(F) $$ $$ M = \mathbb{K}\vec{x} \mapsto h(M) = \mathbb{K}f(\vec{x}) $$Le Groupe Projectif Linéaire
L’ensemble de toutes les homographies d’un espace projectif $\mathbb{P}(E)$ dans lui-même possède une structure de groupe algébrique. On le note formellement $PGL(E)$.
Ce groupe correspond algébriquement au quotient du groupe linéaire général par son centre. Le centre est constitué exclusivement des homothéties vectorielles non nulles.
$$ PGL(E) = GL(E) / (\mathbb{K}^* \cdot Id_E) $$Théorèmes et Propriétés des Homographies
L’étude des invariants projectifs nécessite l’analyse profonde des propriétés algébriques de ces transformations.
Théorème Fondamental de la Géométrie Projective
Un repère projectif de $\mathbb{P}(E)$ exige exactement $n+2$ points en position générale. Ce théorème garantit l’existence et l’unicité stricte de la transformation liant deux repères.
Soient $(A_1, \dots, A_{n+2})$ et $(B_1, \dots, B_{n+2})$ deux repères projectifs respectifs de $\mathbb{P}(E)$ et $\mathbb{P}(F)$. Il existe une et une seule homographie $h$ vérifiant les équations d’assignation :
$$ \forall i \in \{1, \dots, n+2\}, \quad h(A_i) = B_i $$Preuve : Fixons des bases adaptées $(e_1, \dots, e_{n+1})$ et $(f_1, \dots, f_{n+1})$ représentant les $n+1$ premiers points. Le $(n+2)$-ème point force la pondération des vecteurs directeurs.
$$ A_{n+2} = \mathbb{K}\left(\sum_{i=1}^{n+1} x_i e_i\right) \quad \text{et} \quad B_{n+2} = \mathbb{K}\left(\sum_{i=1}^{n+1} y_i f_i\right) $$Par définition d’un repère projectif, les coefficients $x_i$ et $y_i$ sont tous strictement non nuls. On peut donc normaliser la base en posant $e’_i = x_i e_i$ et $f’_i = y_i f_i$. L’unique isomorphisme linéaire $u$ envoyant la base $(e’_i)$ sur $(f’_i)$ satisfait $u(e’_i) = f’_i$. Par linéarité, la somme vectorielle est préservée.
$$ u\left(\sum_{i=1}^{n+1} e’_i\right) = \sum_{i=1}^{n+1} f’_i $$Cet isomorphisme $u$ induit une homographie $h$ répondant au problème. L’unicité découle du fait que deux isomorphismes induisant la même homographie sont proportionnels. $\blacksquare$
Conservation Stricte du Birapport
Le birapport constitue l’invariant scalaire ultime de la géométrie projective. Soient $A, B, C, D$ quatre points parfaitement alignés sur une droite projective.
Toute homographie $h$ conserve invariablement la valeur algébrique de ce birapport :
$$ [A, B, C, D] = [h(A), h(B), h(C), h(D)] $$Exemples et Contre-exemples
L’assimilation analytique requiert des représentations matricielles et la distinction avec d’autres formalismes géométriques.
Exemple Analytique : Transformations de Möbius
Sur la droite projective complexe $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, les homographies s’expriment analytiquement comme des fonctions rationnelles. Considérons une matrice inversible $M \in GL_2(\mathbb{C})$.
$$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$L’action homographique sur l’affixe locale $z \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ génère la célèbre transformation de Möbius :
$$ h(z) = \frac{az + b}{cz + d} $$La condition stricte d’inversibilité exige un déterminant non nul, soit algébriquement $ad – bc \neq 0$.
Contre-exemple : La Conjugaison Complexe Projective
Évaluons l’application de conjugaison complexe opérant sur l’espace $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$. Cette application bijective préserve trivialement l’alignement des points projectifs.
$$ \sigma : [z_0 : \dots : z_n] \mapsto [\bar{z}_0 : \dots : \bar{z}_n] $$Cependant, cette symétrie n’est absolument pas une homographie. L’application vectorielle sous-jacente est anti-linéaire (ou semi-linéaire) plutôt que strictement linéaire.
$$ \sigma(\lambda \vec{v}) = \bar{\lambda} \sigma(\vec{v}) $$Par conséquent, elle échoue à conserver le birapport projectif. L’application $\sigma$ conjugue algébriquement le birapport au lieu de le préserver. Ce n’est donc pas un élément de $PGL_{n+1}(\mathbb{C})$.