Les Coniques projectives constituent l’unification fondamentale des courbes du second degré dans le plan projectif, éliminant la distinction classique entre ellipses, paraboles et hyperboles. Leur étude repose sur la géométrie d’incidence et l’algèbre des formes quadratiques homogènes.
Définition algébrique dans le plan projectif
Soit $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$ un plan projectif sur un corps commutatif $\mathbb{K}$ de caractéristique différente de 2. Une conique projective $\mathcal{C}$ est définie comme l’ensemble des points $M$ dont les coordonnées homogènes $[x:y:z]$ satisfont une équation quadratique homogène :
$$ Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz = 0 $$Où les coefficients $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{K}$ ne sont pas tous nuls. Cette équation peut s’écrire sous forme matricielle symétrique :
$$ X^T A X = 0 $$Avec $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{pmatrix}$. La matrice $A$ est définie à un facteur scalaire non nul près.
La nature de la conique dépend du rang de la matrice $A$. Si $\text{rg}(A)=3$, la conique est dite non dégénérée. Si $\text{rg}(A) < 3$, elle est dégénérée (réunion de droites ou point double).
Intersection avec la droite à l’infini
Dans le plan affine usuel $\mathbb{A}^2$, on identifie le plan projectif en posant $z=1$. La droite à l’infini $\Delta_\infty$ a pour équation $z=0$. L’intersection $\mathcal{C} \cap \Delta_\infty$ détermine le type affine de la conique.
En substituant $z=0$ dans l’équation, on obtient la forme quadratique binaire $ax^2 + by^2 + 2dxy = 0$. Le discriminant de cette forme indique le nombre de points à l’infini :
- Deux points distincts réels : Hyperbole.
- Un point double réel : Parabole.
- Deux points imaginaires conjugués : Ellipse.
En géométrie projective pure, ces trois cas sont indiscernables localement ; ils ne diffèrent que par la position relative de la droite à l’infini.
Théorème de Pascal et hexagramme mystique
Le théorème de Pascal est la propriété caractéristique majeure des Coniques projectives non dégénérées. Il établit une condition nécessaire et suffisante d’appartenance de six points à une même conique.
Énoncé et démonstration du théorème
Théorème : Soient six points distincts $A, B, C, D, E, F$ situés sur une conique non dégénérée $\mathcal{C}$. Alors les trois points d’intersection des paires de côtés opposés de l’hexagone $ABCDEF$ sont alignés.
Notons $P = (AB) \cap (DE)$, $Q = (BC) \cap (EF)$ et $R = (CD) \cap (FA)$. Les points $P, Q, R$ appartiennent à une droite appelée droite de Pascal.
Preuve : Utilisons la théorie des faisceaux de coniques. Considérons les deux cubiques dégénérées formées par la réunion de trois droites :
$$ \mathcal{D}_1 = (AB) \cup (CD) \cup (EF) \quad \text{et} \quad \mathcal{D}_2 = (BC) \cup (DE) \cup (FA) $$Ces deux cubiques se coupent en 9 points selon le théorème de Bézout. Six de ces points sont $A,B,C,D,E,F$ qui sont sur $\mathcal{C}$. Les trois autres sont $P, Q, R$.
Toute cubique passant par 8 de ces points passe automatiquement par le neuvième (théorème des 9 points). La cubique $\mathcal{C} \cup (PQ)$ passe par les 6 points de la conique et par $P, Q$. Elle doit donc passer par $R$.
Puisque $R$ n’est pas sur $\mathcal{C}$ (cas général), il appartient nécessairement à la droite $(PQ)$. Ainsi, $P, Q, R$ sont alignés. $\blacksquare$
Corollaire : Construction point par point
Ce théorème permet de construire une conique connaissant cinq points. Soit $A,B,C,D,E$ cinq points. Pour tout point variable $F$ sur la conique, l’alignement de $P,Q,R$ impose la position de $F$.
Cette méthode purement projective ne nécessite ni mesure de distance, ni angle, ni équation cartésienne explicite. Elle illustre la puissance de l’incidence.
Dualité et théorème de Brianchon
Le principe de dualité projective transforme les points en droites et les alignements en concours. Appliqué aux coniques, il génère le théorème dual de Pascal.
Énoncé du théorème de Brianchon
Théorème : Si un hexagone est circonscrit à une conique non dégénérée (ses côtés sont tangents à la conique), alors ses trois diagonales principales sont concourantes.
Soit un hexagone de côtés $a, b, c, d, e, f$ tangents à $\mathcal{C}$. Notons les sommets opposés comme les intersections $(a \cap d)$, $(b \cap e)$, $(c \cap f)$. Ces trois points sont alignés sur une droite passant par un centre de perspective unique ? Non, les diagonales reliant les sommets opposés se croisent en un seul point appelé point de Brianchon.
Ce résultat est la traduction exacte du théorème de Pascal dans le plan dual $\mathbb{P}^{2*}$. Une conique dans le plan dual est l’enveloppe de ses tangentes, appelée conique duale.
Matrice de la conique duale
Si la conique $\mathcal{C}$ est définie par la matrice inversible $A$, alors la conique duale $\mathcal{C}^*$ (l’ensemble des droites tangentes) est définie par la matrice inverse $A^{-1}$ (ou la comatrice).
Une droite de coordonnées homogènes $U = [u:v:w]$ est tangente à $\mathcal{C}$ si et seulement si :
$$ U^T A^{-1} U = 0 $$Cette relation algébrique confirme que la dualité préserve le degré de l’équation. Les coniques projectives sont auto-duales en tant que classe de courbes.
Classification projective et orbites
Sous l’action du groupe projectif linéaire $PGL(3, \mathbb{K})$, toutes les coniques non dégénérées sont équivalentes sur un corps algébriquement clos comme $\mathbb{C}$.
Réduction canonique complexe
Dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, toute conique non dégénérée peut être transformée par une homographie en la conique standard d’équation :
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 0 $$Il n’existe qu’une seule classe d’équivalence de coniques non dégénérées dans le plan projectif complexe. La notion d’excentricité disparaît totalement.
Sur le corps des réels $\mathbb{R}$, la classification dépend de la signature de la forme quadratique (loi d’inertie de Sylvester). Il existe deux types de coniques non dégénérées réelles :
- Signature $(+,+,+)$ ou $(-,-,-)$ : Conique imaginaire (pas de points réels, ex: $x^2+y^2+z^2=0$).
- Signature $(+,+,-)$ : Conique réelle (isomorphe au cercle projectif, ex: $x^2+y^2-z^2=0$).
Ainsi, ellipse, hyperbole et parabole réelles appartiennent toutes à la même orbite projective réelle.
Coniques dégénérées
Les coniques dégénérées forment des classes distinctes selon leur rang. Si $\text{rg}(A)=2$, la conique est la réunion de deux droites distinctes (sécantes ou parallèles dans le modèle affine).
Si $\text{rg}(A)=1$, la conique est une droite double. Ces configurations correspondent aux limites des familles de coniques lorsque le discriminant s’annule.
Exemples concrets et calculs de tangentes
Illustrons ces concepts par des exemples analytiques montrant le passage du projectif à l’affine et le calcul d’éléments géométriques.
Exemple 1 : Homographie transformant une hyperbole en cercle
Considérons l’hyperbole équilatère d’équation affine $xy=1$. Son équation homogène est $xy – z^2 = 0$.
Nous cherchons une transformation envoyant cette conique sur le cercle unité $X^2 + Y^2 – Z^2 = 0$. Posons le changement de variables linéaire :
$$ x = X+Y, \quad y = X-Y, \quad z = Z $$Substituons dans l’équation de l’hyperbole :
$$ (X+Y)(X-Y) – Z^2 = X^2 – Y^2 – Z^2 = 0 $$Ceci n’est pas encore le cercle standard. Ajustons avec des coefficients complexes ou une permutation. Prenons plutôt $x = X+iY, y = X-iY$. Alors $x^2+y^2$ apparaît.
Plus simplement, sur $\mathbb{R}$, l’hyperbole $x^2-y^2=1$ et le cercle $x^2+y^2=1$ ne sont pas projectivement équivalents car leurs signatures diffèrent ($(+,-,-)$ vs $(+,+,-)$ après homogénéisation $x^2-y^2-z^2=0$ et $x^2+y^2-z^2=0$). Attendez, la signature de $x^2-y^2-z^2$ est $(1, -1, -1)$ soit $(+,-,-)$ équivalent à $(+,+,-)$ par changement de signe global ? Non, l’inertie compte le nombre de signes + et -. Ici 1 positif, 2 négatifs. Pour le cercle $x^2+y^2-z^2$, c’est 2 positifs, 1 négatif. Elles sont équivalentes par multiplication par -1 ? Non, $-(x^2-y^2-z^2) = -x^2+y^2+z^2$ (1-, 2+). Oui, elles sont équivalentes.
L’hyperbole et le cercle sont donc projectivement équivalents sur $\mathbb{R}$. La transformation existe bel et bien.
Exemple 2 : Équation tangentielle d’une conique
Soit la conique $\mathcal{C}$ d’équation $x^2 + 2y^2 – z^2 = 0$. La matrice associée est $A = \text{diag}(1, 2, -1)$.
La matrice inverse est $A^{-1} = \text{diag}(1, 1/2, -1)$. L’équation tangentielle (condition pour qu’une droite $ux+vy+wz=0$ soit tangente) est :
$$ u^2 + \frac{1}{2}v^2 – w^2 = 0 $$Si l’on cherche les tangentes issues d’un point extérieur, on résout ce système conjointement avec la condition d’incidence. Cela démontre l’utilité de la représentation duale pour les problèmes de tangence.
Contre-exemple : Points cocycliques et coniques dégénérées
Cinq points quelconques définissent toujours une conique unique. Cependant, si trois de ces points sont alignés, la conique obtenue est nécessairement dégénérée.
Elle se décompose en la droite contenant les trois points et la droite reliant les deux autres points. Ceci vérifie que le déterminant de la matrice de Vandermonde généralisée s’annule dans ce cas configurationnel.
Applications en géométrie algorithmique
Les Coniques projectives sont essentielles en vision par ordinateur et en infographie. La calibration de caméras utilise la dualité conique pour modéliser les images de cercles sous perspective.
Image d’un cercle par une caméra
Un cercle dans l’espace 3D, vu par une caméra pinhole, se projette toujours sur une conique dans le plan image. Selon l’angle de vue, cette conique sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
L’algorithme de détection de contours identifie ces courbes comme une seule entité projective. La contrainte que l’image doit être une conique permet de filtrer le bruit et de reconstruire la pose 3D de l’objet circulaire.
Conclusion synthétique
Les Coniques projectives offrent le cadre le plus élégant et le plus puissant pour l’étude des courbes du second degré. Elles unifient les classifications affines et révèlent des propriétés profondes comme les théorèmes de Pascal et Brianchon.
La maîtrise de leur définition matricielle et de leur dualité est indispensable pour aborder la géométrie algébrique moderne, la théorie des invariants et les applications technologiques en imagerie numérique.