Le plan tangent est un objet géométrique essentiel en analyse et géométrie différentielle. Il fournit une approximation linéaire locale d’une surface en un point régulier.

Plan tangent : définition rigoureuse

Considérons une fonction $f: U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie sur un ouvert $U$. Le point $\mathbf{P} = (a,b,f(a,b))$ appartient au graphique $\Gamma_f$ de $f$.

Cas d’un graphique explicite

Si $f$ est différentiable en $(a,b)$, le plan tangent à $\Gamma_f$ en $\mathbf{P}$ est l’ensemble des points $(x,y,z)$ vérifiant :

$$z = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).$$

Cette équation définit un plan affine de $\mathbb{R}^3$. Sa normale est le vecteur $\left( \frac{\partial f}{\partial x}(a,b), \frac{\partial f}{\partial y}(a,b), -1 \right)$.

Cas d’une surface implicite

Soit $F: V \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. En un point $\mathbf{P}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ tel que $F(\mathbf{P}_0)=0$ et $\nabla F(\mathbf{P}_0) \neq \mathbf{0}$, le plan tangent à la surface $\mathcal{S} = \{ F=0 \}$ est donné par :

$$\frac{\partial F}{\partial x}(\mathbf{P}_0)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(\mathbf{P}_0)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(\mathbf{P}_0)(z-z_0) = 0.$$

Théorème d’existence et d’unicité

Soit $f: U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ différentiable en $(a,b) \in U$. Alors il existe un unique plan tangent au graphique de $f$ au point $(a,b,f(a,b))$.

Preuve du théorème

Preuve : La différentiabilité de $f$ en $(a,b)$ signifie qu’il existe une application linéaire $L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ telle que :

$$f(a+h,b+k) = f(a,b) + L(h,k) + o(\|(h,k)\|) \quad \text{quand } (h,k) \to (0,0).$$

Comme $f$ est différentiable, $L$ est représentée par les dérivées partielles : $L(h,k) = f_x(a,b)h + f_y(a,b)k$. Considérons le plan $\mathcal{P}$ d’équation $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$. Pour tout point $(x,y)$ proche de $(a,b)$, notons $z = f(x,y)$. La distance algébrique entre $(x,y,z)$ et $\mathcal{P}$ vaut :

$$d = z – \big[ f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \big].$$

En posant $h = x-a$, $k = y-b$, on a :

$$d = f(a+h,b+k) – f(a,b) – f_x(a,b)h – f_y(a,b)k.$$

Par différentiabilité, $d = o(\sqrt{h^2+k^2})$. Ainsi, la distance entre la surface et le plan tend vers zéro plus vite que la distance au point de tangence. Cela caractérise la tangence. L’unicité découle du fait qu’un plan tangent doit avoir pour direction les vecteurs tangents à la surface, qui sont engendrés par les dérivées directions. $\blacksquare$

Exemples concrets

Exemple 1 : paraboloïde elliptique

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$. En $(a,b) = (1,1)$, on calcule :

$$f(1,1)=2, \quad \frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y.$$

Donc $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2$. Le plan tangent a pour équation :

$$z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1) = 2x + 2y – 2.$$

Exemple 2 : sphère unité (cas implicite)

Soit $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – 1$. La sphère unité est $\mathcal{S} = \{ F=0 \$. En $\mathbf{P}_0 = (1,0,0)$, on a :

$$\nabla F = (2x, 2y, 2z), \quad \nabla F(1,0,0) = (2,0,0).$$

Le plan tangent est : $2(x-1) + 0(y-0) + 0(z-0)=0$, soit $x=1$. C’est bien le plan vertical tangent à la sphère en $(1,0,0)$.

Contre-exemple : absence de différentiabilité

Considérons $f(x,y) = |x| + |y|$. En $(0,0)$, les dérivées partiées n’existent pas. En effet, la limite $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ est indéfinie. Aucun plan ne peut approcher localement le graphique de façon linéaire. Le cône formé par $f$ n’admet pas de plan tangent à l’origine. Ceci illustre que la différentiabilité est nécessaire.

Pour approfondir

La théorie du plan tangent se généralise aux variétés différentiables. Pour des cours complets et des exercices corrigés, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur. Des ressources historiques et des approfondissements sont disponibles sur CultureMath.