Définition formelle de la seconde forme fondamentale
En géométrie différentielle des surfaces, la seconde forme fondamentale est une application bilinéaire symétrique qui mesure la façon dont une surface se courbe dans l’espace ambiant. Soit $S \subset \mathbb{R}^3$ une surface régulière paramétrée par $X : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$.
On note $N$ la normale unitaire à $S$. La seconde forme fondamentale $\mathrm{I\!I}$ est définie par :
$$
\mathrm{I\!I}_p(u,v) = -\langle dN_p(u), v \rangle, \quad \forall u,v \in T_pS.
$$
Dans une base locale $\{X_u, X_v\}$ du plan tangent, ses coefficients $e,f,g$ sont :
$$
e = \langle X_{uu}, N \rangle, \quad f = \langle X_{uv}, N \rangle, \quad g = \langle X_{vv}, N \rangle.
$$
La forme s’écrit alors :
$$
\mathrm{I\!I} = e \, du^2 + 2f \, du dv + g \, dv^2.
$$
Théorèmes et propriétés essentielles
Équations de Gauss-Codazzi
Les formes fondamentale première $\mathrm{I}$ et seconde $\mathrm{I\!I}$ ne sont pas indépendantes. Leurs coefficients $E,F,G$ et $e,f,g$ satisfont les équations de Gauss-Codazzi, conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence locale d’une surface présentant ces formes fondamentales.
Équation de Gauss (Théorème egregium de Gauss) :
$$
K = \frac{eg – f^2}{EG – F^2},
$$
où $K$ est la courbure gaussienne, fonction uniquement de la première forme fondamentale.
Équations de Codazzi :
\begin{align*}
e_v – f_u &= e\Gamma^1_{12} + f(\Gamma^2_{12} – \Gamma^1_{11}) + g\Gamma^2_{11}, \\
f_v – g_u &= e\Gamma^1_{22} + f(\Gamma^2_{22} – \Gamma^1_{12}) + g\Gamma^2_{12},
\end{align*}
où $\Gamma^k_{ij}$ sont les symboles de Christoffel de la première forme.
Théorème de rigidité (de Cohn-Vossen)
Si deux surfaces compactes, connexes et simplement connexes sont isométriques et ont même seconde forme fondamentale, alors elles sont congruentes par une isométrie de $\mathbb{R}^3$.
Preuve de l’équation de Gauss
Preuve : Par définition, les vecteurs $X_{uu}, X_{uv}, X_{vv}$ se décomposent dans la base $\{X_u, X_v, N\}$. On écrit :
\begin{align*}
X_{uu} &= \Gamma^1_{11} X_u + \Gamma^2_{11} X_v + e N, \\
X_{uv} &= \Gamma^1_{12} X_u + \Gamma^2_{12} X_v + f N, \\
X_{vv} &= \Gamma^1_{22} X_u + \Gamma^2_{22} X_v + g N.
\end{align*}
Les dérivées croisées $X_{uuv}$ et $X_{uvu$ sont égales. En projetant sur $N$ et en utilisant la dérivée covariante de $N$, on obtient une relation impliquant $e_v$ et $f_u$. En projetant sur le plan tangent et en manipulant les équations, on élimine les $\Gamma$ pour aboutir à :
$$
K = \frac{\langle X_{uu}, X_{vv} \rangle – \langle X_{uv}, X_{uv} \rangle}{\langle X_u, X_u \rangle \langle X_v, X_v \rangle – \langle X_u, X_v \rangle^2} = \frac{eg – f^2}{EG – F^2}.
$$
$\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Sphère de rayon $R$. Une paramétrisation standard donne $e = g = \frac{1}{R}$ et $f = 0$. La seconde forme fondamentale est $\mathrm{I\!I} = \frac{1}{R} \mathrm{I}$, donc $K = \frac{1}{R^2}$ constant.
Exemple 2 : Plan. Toutes les dérivées secondes sont nulles, donc $e = f = g = 0$. La seconde forme est nulle, $K=0$.
Contre-exemple : Isométrie sans préservation de la seconde forme. Considérons un cylindre $x^2+y^2=R^2$ et un plan $\mathbb{R}^2$. Ils sont localement isométriques (développement), mais le cylindre a $K=0$ et une seconde forme non nulle (sauf méridiens et parallèles), tandis que le plan a $\mathrm{I\!I}=0$. Ainsi, l’isométrie ne préserve pas $\mathrm{I\!I}$.
Ressources complémentaires
Pour approfondir la théorie des surfaces et les applications de la seconde forme fondamentale, consultez nos cours et exercices de mathématiques niveau supérieur. Le site de la Société Mathématique de France propose également des ressources académiques sur la géométrie différentielle.