La courbure de Gauss est une fondamentale invariante intrinseèque d’une surface en un point, mesurant sa déviation d’une géométrie euclidienne locale. Son étude细微 distinction entre courbure extrinsèque (dépendant de l’immersion dans l’espace) et courbure intrinsèque (dépendant uniquement de la métrique) est au cœur de la géométrie différentielle moderne.
Définitions formelles
Surface différentiable et repère mobile
Soit $S$ une surface différentiable plongée dans $\mathbb{R}^3$. Un repère mobile orthonormal en $P \in S$ est la donnée d’un vecteur normal unitaire $\mathbf{N}$ et de deux vecteurs tangents $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ orthonormaux. Les coefficients de la première forme fondamentale sont $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$, où :
$$\begin{cases} E = \langle X_u, X_u \rangle \\ F = \langle X_u, X_v \rangle \\ G = \langle X_v, X_v \rangle \end{cases}$$
Formes fondamentales et courbures principales
La seconde forme fondamentale est définie par $II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$, avec :
$$\begin{cases} L = \langle X_{uu}, \mathbf{N} \rangle \\ M = \langle X_{uv}, \mathbf{N} \rangle \\ N = \langle X_{vv}, \mathbf{N} \rangle \end{cases}$$
Les courbures principales $\kappa_1$ et $\kappa_2$ sont les valeurs propres de l’application de Weingarten, solution de l’équation caractéristique :
$$\det(II – \kappa I) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (LN – M^2) – \kappa(EG – F^2) + \kappa^2(EG – F^2)^2? \quad \text{Non, c’est : } (EG-F^2)\kappa^2 – (EN+GL-2FM)\kappa + (LN-M^2) = 0$$
Définition de la courbure de Gauss
La courbure de Gauss $K$ en un point est définie comme le produit des courbures principales :
$$K = \kappa_1 \kappa_2$$
Elle s’exrime directement via les coefficients des formes fondamentales :
$$K = \frac{LN – M^2}{EG – F^2}$$
Théorèmes et propriétés centrales
Théorème d’Egregium de Gauss
La courbure de Gauss est une invariante intrinseèque. Autrement dit, elle ne dépend que de la première forme fondamentale $I$ et de ses dérivées, et non de l’immersion particulière de la surface dans $\mathbb{R}^3$.
Formules de structure de Gauss-Codazzi
Les équations de Gauss (reliant $K$ aux dérivées des coefficients de $I$) et de Codazzi (compatibilité des formes fondamentales) sont nécessaires et suffisantes pour l’existence locale d’une surface ayant pour formes fondamentales données $I$ et $II$.
L’équation de Gauss s’écrit :
$$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}}\left( \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{G_u}{2\sqrt{EG-F^2}}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{E_v}{2\sqrt{EG-F^2}}\right) \right) \quad \text{(forme compliquée, on préfère souvent la forme suivante en coordonnées asymptotiques ou geodesiques)}$$
Une expression plus maniable dans un repère géodésique $(u,v)$ tel que $F=0$, $E=1$, $G=1$ (repère orthonormé) est :
$$K = -\frac{1}{2\sqrt{g}} \left( \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{g_u}{\sqrt{g}}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{g_v}{\sqrt{g}}\right) \right) \quad \text{avec } g = EG-F^2 \text{ (déterminant)}$$
Mais la forme classique est :
$$K = \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}} \left( \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\frac{\partial G}{\partial u} – \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\frac{\partial F}{\partial v}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\frac{\partial E}{\partial v} – \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}}\frac{\partial F}{\partial u}\right) \right)$$
Une expression plus standard est :
$$K = \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}} \left( \frac{\partial G}{\partial u} – \frac{\partial F}{\partial v} \right) \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{1}{\sqrt{EG-F^2}} \left( \frac{\partial E}{\partial v} – \frac{\partial F}{\partial u} \right) \right) \right]$$
Cette équation montre que $K$ peut être calculé uniquement à partir des dérivées partielles de $E$, $F$, $G$.
Preuve et implications
Preuve de l’invariance de la courbure de Gauss
Preuve : Considérons un changement de paramétrage $\tilde{u} = \tilde{u}(u,v)$, $\tilde{v} = \tilde{v}(u,v)$. Les nouvelles composantes de la première forme fondamentale $\tilde{E}, \tilde{F}, \tilde{G}$ sont des combinaisons des anciennes via la matrice jacobienne $J$. La courbure de Gauss peut s’exprimer via le tenseur de courbure de Riemann associé à la métrique $I$. Or, les tenseurs de courbure sont des invariants intrinseques de la connexion de Levi-Civita de la métrique. Ainsi, $K$ est invariant par changement de repère. Alternativement, on calcule directement $\frac{\partial \tilde{E}}{\partial \tilde{u}}$ etc., et on vérifie que l’expression $K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}$ reste inchangée, ce qui est un calcul lourd mais conceptuellement simple.
Conséquence : rigidité locale
Le théorème d’Egregium entraîne que deux surfaces isométriques (ayant la même métrique riemannienne) ont même courbure de Gauss en tout point. Ainsi, tout développement conforme ou isométrie locale préserve $K$. Cela mène au théorème de rigidité de Hilbert : il n’existe pas d’immersion isométrique globale d’un ouvert du plan hyperbolique ($K<0$) dans $\mathbb{R}^3$.
Exemples concrets et contre-exemples
Exemples de calcul de courbure de Gauss
- Sphère de rayon $R$ : $\kappa_1 = \kappa_2 = 1/R$ donc $K = 1/R^2 > 0$.
- Cylindre droit de rayon $R$ : $\kappa_1 = 1/R$ (courbure le long de la circonférence), $\kappa_2 = 0$ (géodésique le long de la génératrice). Donc $K = 0$.
- Plan : $\kappa_1 = \kappa_2 = 0$, $K=0$.
- Pseudosphère (surface de Beltrami) : $K = -1$ partout. C’est un modèle local de géométrie hyperbolique.
- Paraboloïde $z = x^2 + y^2$ : En $(0,0)$ : $K=4$ (positif).
Contre-exemple à l’invariance de la courbure moyenne
La courbure moyenne $H = (\kappa_1 + \kappa_2)/2$ n’est pas intrinsèque. Pour le cylindre et le plan, $H=0$ et $K=0$, mais on peut déformer le cylindre en conservant $H=0$ tout en changeant $K$? Non, car $K = \kappa_1\kappa_2$, si $H=0$ alors $\kappa_1 = -\kappa_2$, donc $K \leq 0$. Un exemple édifiant : la surface de Delaunay (obtenue en faisant rouler une ellipse autour d’une droite) a $H$ constant mais $K$ variable. Cela illustre la distinction cruciale entre invariants intrinsèques ($K$) et extrinsèques ($H$).
Exemple d’isométrie non-preservant la courbure? Impossible
Supposons une isométrie locale $f: S_1 \to S_2$. Alors $f^* I_{S_2} = I_{S_1}$. Par le théorème d’Egregium, $K_{S_1} = K_{S_2}$ aux points correspondants. Inversement, si deux surfaces ont même $K$ partout, existent-elles localement isométriques? Pas toujours : il faut aussi que les formes quadratiques différentielles associées coïncident (équations de Gauss-Codazzi). C’est le problème de l’équidissection.
Lien avec la géométrie riemannienne
Pour une surface $S$, la courbure de Gauss est la courbure sectionnelle du plan tangent en tout point. Dans le formalism de Riemann, si $\nabla$ est la connexion de Levi-Civita de la métrique $I$, le tenseur de courbure $R$ a pour composantes :
$$R(X,Y,Y,X) = K \cdot ( \|X\|^2\|Y\|^2 – \langle X,Y \rangle^2 )$$
Pour une variété riemannienne de dimension $n$, la courbure sectionnelle dans le plan engendré par $X,Y$ orthonormés est $R(X,Y,Y,X)$. Ainsi, sur une surface, la courbure de Gauss est l’unique courbure sectionnelle.
Généralisations
La notion de courbure de Gauss se généralise aux variétés riemanniennes de dimension supérieure via les invariants de courbure. Le tenseur de courbure de Riemann possède $\binom{n}{2}$ sections indépendantes. Pour $n=2$, il n’y a qu’une section, d’où l’unicité de $K$.
En géométrie complexe, sur une surface complexe (variété de dimension 2 sur $\mathbb{C}$), la courbure de Gauss est liée au determinant du tenseur de courbure de Gauss et joue un rôle dans les équations de Monge-Ampère.
Perspectives et applications
La courbure de Gauss intervient dans :
- La théorie des surfaces minimales ($H=0$), où $K \leq 0$ sauf pour le plan.
- Le théorème de Gauss-Bonnet : $\int_S K \, dA = 2\pi \chi(S)$ pour une surface compacte sans bord.
- La cosmologie modélisant l’univers comme une 3-variété ; la courbure scalaire est l’analogue 3D de $K$.
- L’informatique graphique pour le lissage de maillages (mean curvature flow préserve $K$ dans certains cas? Non, le flow de moyenne courbure ne préserve pas $K$, mais le flow de courbure de Gauss? Non standard).
Pour approfondir les démonstrations complètes et les exercices corrigés, consultez les ressources pédagogiques de KeepMath. Une vue d’ensemble des problèmes historiques est disponible sur CultureMATH.
Références complémentaires
Ouvrages classiques : Geometry of Surfaces de John Stillwell, Differential Geometry of Curves and Surfaces de Manfredo do Carmo. Ces textes développent les calculs explicites et les théorèmes d’existence.