Le théorème d’Egregium,结果 de Gauss en 1827, établit que la courbure gaussienne d’une surface est une invariant intinsèque, indépendante de son immersion dans l’espace euclidien. Ce résultat fondamental de la géométrie différentielle démontre que cette courbure peut être déterminée uniquement à partir de la première forme fondamentale.
Définitions formelles
Soit $S$ une surface régulière Embedded dans $\mathbb{R}^3$, paramétrée par une application $\mathbf{r}: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ de classe $C^k$ ($k \geq 2$).
Première forme fondamentale
La première forme fondamentale $I$ est la métrique riemannienne induite par la métrique euclidienne de $\mathbb{R}^3$. En coordonnées $(u,v)$, elle s’écrit :
$$
I = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2
$$
où $E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u$, $F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v$, $G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v$. Les coefficients $E,F,G$ sont les coefficients de la première forme fondamentale.
Seconde forme fondamentale
La seconde forme fondamentale $\mathrm{II}$ capture la courburelocale en dehors de la surface. Avec $\mathbf{N}$ le vecteur unitaire normal, on définit :
$$
\mathrm{II} = L \, du^2 + 2M \, du \, dv + N \, dv^2
$$
où $L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{N}$, $M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{N}$, $N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{N}$.
Courbure gaussienne
La courbure gaussienne $K$ est définie comme le produit des courbures principales $\kappa_1$ et $\kappa_2$ :
$$
K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN – M^2}{EG – F^2}
$$
Cette expression fait intervenir les coefficients des deux formes fondamentales. Le théorème d’Egregium affirme que $K$ est inherent à la métrique $I$ seule.
Théorème d’Egregium (Énoncé formel)
Soit $S_1$ et $S_2$ deux surfaces isométriques (il existe une application diffeomorphe préservant la première forme fondamentale). Alors leurs courbures gaussiennes sont égales en points correspondants.
$$
\forall p \in S_1,\quad K_{S_1}(p) = K_{S_2}(f(p))
$$
Ce théorème signifie que la courbure gaussienne est une invariant intinsèque : elle ne dépend que des distances mesurées sur la surface elle-même.
Corollaire immédiat
Si une surface est isométrique à une portion du plan ($K=0$ partout), alors sa courbure gaussienne est nulle en tout point. Une telle surface est dite développable.
Preuve du théorème d’Egregium
Preuve : L’idée maîtresse est d’exprimer $K$ uniquement en fonction des coefficients $E,F,G$ et leurs dérivées. On utilise les équations de Gauss, qui relient les dérivées secondes de $\mathbf{r}$ aux symboles de Christoffel $\Gamma_{ij}^k$ définis par la métrique $I$.
Les symboles de Christoffel sont donnés par :
$$
\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \sum_{l=1}^{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} – \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right)
$$
où $g_{11}=E$, $g_{12}=F$, $g_{22}=G$, et $(g^{kl})$ est la matrice inverse de $(g_{kl})$.
Les équations de Gauss s’écrivent :
$$
\frac{\partial \Gamma_{22}^1}{\partial u} – \frac{\partial \Gamma_{12}^1}{\partial v} + \Gamma_{12}^1 \Gamma_{11}^1 + \Gamma_{22}^1 \Gamma_{12}^1 – \Gamma_{12}^2 \Gamma_{12}^1 – \Gamma_{22}^2 \Gamma_{11}^2 = K F
$$
et des permutées. Une combinaison linéaire astucieuse de ces équations élimine les termes de seconde forme et ne laisse que $K$ exprimé en fonction de $E,F,G$ et leurs dérivées première et seconde.
On obtient finalement la formule explicite de Gauss (dite formule d’Egregium) :
\begin{align*}
K &= \frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^2}} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{F_u-G_v}{\sqrt{EG-F^2}} \right) \right] \\
&\quad – \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left[ (EG-F^2) \left( \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{GE_v-2FE_u+FG_v}{2(EG-F^2)^2} \right) + \cdots \right) \right]
\end{align*}
Cette expression, bien que lourde, dépend uniquement de $E,F,G$ et de leurs dérivées. Par conséquent, si deux surfaces sont isométriques ($E,F,G$ coïncident en points correspondants), alors leurs courbures gaussiennes coïncident. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Sphère de rayon $R$
Pour la sphère paramétrée par $\mathbf{r}(\theta,\phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta)$, on calcule :
\begin{align*}
E &= R^2,\quad F=0,\quad G = R^2\sin^2\theta.
\end{align*}
La première forme fondamentale est $I = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$. La courbure gaussienne vaut $K = 1/R^2$, constante et positive. Toute surface isométrique à la sphère (localement) doit avoir la même courbure constante.
Exemple 2 : Cylindre droit
Considérons le cylindre $\mathbf{r}(u,v) = (R\cos u, R\sin u, v)$. On obtient :
\begin{align*}
E &= R^2,\quad F=0,\quad G = 1.
\end{align*}
Ainsi $I = R^2 du^2 + dv^2$. La courbure gaussienne est $K=0$. Le théorème d’Egregium implique que toute surface isométrique au cylindre (développable) a $K=0$. Le plan ($K=0$) est isométrique localement au cylindre.
Contre-exemple : Surface à courbure variable non isométrique au plan
Prenons l’ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ avec $a,b,c$ distincts. Sa courbure gaussienne $K$ n’est pas constante et n’est pas partout nulle. Par le théorème d’Egregium, aucune portion de l’ellipsoïde ne peut être isométrique à une portion du plan, car $K$ n’est pas identiquement nulle.
Applications et implications
Le théorème d’Egregium est à l’origine de la distinction entre géométrie intrinseèque et extrinseèque. Il permet de classifier les surfaces développables ($K=0$) et joue un rôle crucial en relativité générale où la courbure de l’espace-temps est observée via des mesures intrinseques.
Pour approfondir la géométrie différentielle des surfaces, consulnez les ressources de KeepMath ou les archives de CultureMath.