Les droites hyperboliques sont les géodésiques du plan hyperbolique, centrales en géométrie non euclidienne. Leur étude rigoureuse s’appuie sur des modèles conformes comme le disque de Poincaré.

Définitions formelles des droites hyperboliques

Modèle du disque de Poincaré

Le plan hyperbolique est modélisé par le disque unité ouvert $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \}$, muni de la métrique conforme :

$$ ds = \frac{2\,|dz|}{1 – |z|^2} $$

Cette métrique induit une distance hyperbolique $\rho$ entre deux points $z_1, z_2 \in \mathbb{D}$ :

$$ \rho(z_1, z_2) = \text{arcosh} \left( 1 + \frac{2|z_1 – z_2|^2}{(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)} \right) $$

Définition d’une droite hyperbolique

Une droite hyperbolique est un arc maximal de cercle orthogonal au cercle frontière $\partial\mathbb{D} = \{ z \mid |z| = 1 \}$, ou un diamètre de $\mathbb{D}$. Formellement, soit $C$ un cercle euclidien d’équation $|z – c| = r$ avec $c \in \mathbb{C}$ et $r > 0$. Alors $C \cap \mathbb{D}$ est une droite hyperbolique si et seulement si $|c|^2 = 1 + r^2$, condition d’orthogonalité à $\partial\mathbb{D}$.

Théorèmes et propriétés des droites hyperboliques

Théorème 1 : Géodésiques

Les droites hyperboliques sont exactement les géodésiques de $(\mathbb{D}, \rho)$.

Propriété 1 : Unicité de l’intersection

Deux droites hyperboliques distinctes ont au plus un point commun.

Propriété 2 : Parallèles hyperboliques

Par un point $P \notin L$, où $L$ est une droite hyperbolique, il existe une infinité de droites hyperboliques ne rencontrant pas $L$. On distingue les parallèles limites (une seule par direction) et les ultra-parallèles.

Preuves et démonstrations rigoureuses

Preuve du théorème 1

Preuve : Considérons un arc $\gamma$ orthogonal à $\partial\mathbb{D}$. Paramétrons $\gamma$ par $z(t)$, $t \in [a,b]$. La longueur hyperbolique est $L(\gamma) = \int_a^b \frac{2|\dot{z}(t)|}{1-|z(t)|^2} dt$. Montrons que $\gamma$ minimise $L$ parmi tous les chemins entre ses extrémités. Utilisons le changement de variable $w = \phi(z) = i\frac{1+z}{1-z}$, qui envoie $\mathbb{D}$ sur le demi-plan supérieur $\mathbb{H}$ et préserve l’orthogonalité. Dans $\mathbb{H}$, la métrique est $ds = \frac{|dw|}{\text{Im}(w)}$, et les géodésiques sont les droites verticales et les demi-cercles orthogonaux à la frontière réelle. Comme $\phi$ est une isométrie conforme, l’image $\phi \circ \gamma$ est une géodésique de $\mathbb{H}$. Par composition, $\gamma$ est géodésique dans $\mathbb{D}$. Réciproquement, toute géodésique dans $\mathbb{D}$ doit être d’équation euclidienne $|z-c|=r$ avec $|c|^2=1+r^2$ ou un diamètre, sinon la courbure de $\gamma$ ne vérifierait pas les équations d’Euler-Lagrange pour le fonctionnel de longueur. $\blacksquare$

Preuve de la propriété 1

Preuve : Deux arcs de cercles orthogonaux à $\partial\mathbb{D}$ sont des cercles euclidiens. Deux cercles euclidiens distincts s’intersectent en au plus deux points. Comme ils sont orthogonaux au cercle unité, leurs points d’intersection avec $\mathbb{D}$ ne peuvent être sur $\partial\mathbb{D}$ (sinon l’orthogonalité échouerait). Ainsi, dans $\mathbb{D}$, ils ont au plus un point commun. $\blacksquare$

Exemples et contre-exemples des droites hyperboliques

Exemple 1 : Diamètre réel

Le segment $(-1,1)$ sur l’axe réel est une droite hyperbolique, car c’est un diamètre de $\mathbb{D}$.

Exemple 2 : Arc de cercle orthogonal

Le cercle $|z – \frac{3}{2}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ vérifie $|\frac{3}{2}|^2 = \frac{9}{4}$ et $1 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$. Son arc dans $\mathbb{D}$, par exemple $\{ z \in \mathbb{C} \mid |z – \frac{3}{2}| = \frac{\sqrt{5}}{2}, \text{Re}(z) < 1 \}$, est une droite hyperbolique.

Contre-exemple

Le cercle $|z – \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ n’est pas orthogonal à $\partial\mathbb{D}$ car $|\frac{1}{2}|^2 = \frac{1}{4} \neq 1 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$. Son arc dans $\mathbb{D}$ n’est donc pas une droite hyperbolique.

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