Définitions formelles

Un triangle hyperbolique est un triplet ordonnné de points non colinéaires du plan hyperbolique, ainsi que les trois géodésiques les joignant. Le plan hyperbolique est une variété riemannienne complète de dimension 2 de courbure sectionnelle constante $K = -1$. On le modélise couramment par le demi-plan de Poincaré $\mathbb{H} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > 0 \}$ muni de la métrique riemannienne $ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}$.

Modèle du demi-plan de Poincaré

Dans $\mathbb{H}$, les géodésiques sont les demi-droites verticales et les arcs de cercles orthogonaux à la droite $\{y=0\}$. La distance hyperbolique entre deux points $z_1, z_2 \in \mathbb{H}$ s’exprime via la formule de la distance hyperbolique :

$$\cosh d_{\mathbb{H}}(z_1, z_2) = 1 + \frac{|z_1 – z_2|^2}{2 \operatorname{Im}(z_1) \operatorname{Im}(z_2)}.$$

Les triangles hyperboliques sont donc les régions bornées par trois telles géodésiques se coupant trois à trois en des points distincts (sommets).

Propriétés fondamentales

Contrairement à la géométrie euclidienne, la somme des angles intérieurs d’un triangle hyperbolique est strictement inférieure à $\pi$. On définit le défaut angulaire $\delta$ par :

$$\delta = \pi – (\alpha + \beta + \gamma) > 0,$$

où $\alpha, \beta, \gamma$ sont les mesures des angles du triangle, exprimées en radians.

Relation aire-défaut

Le théorème fondamental lie l’aire au défaut angulaire. Pour un triangle hyperbolique dans le modèle de Poincaré de courbure $-1$, on a :

$$\operatorname{Area} = \delta = \pi – (\alpha + \beta + \gamma).$$

Cette égalité provient de l’intégration de la courbure gaussienne constante $-1$ sur la région triangulaire, via la formule de Gauss-Bonnet locale.

Théorèmes et démonstrations

Théorème de Gauss-Bonnet pour les triangles

Énoncé : Soit $T$ un triangle hyperbolique (variété à bord piecewise-lisse). Alors :

$$\iint_T K \, dA + \int_{\partial T} k_g \, ds + \sum_{i=1}^3 \theta_i = 2\pi,$$

où $K = -1$ est la courbure gaussienne, $k_g$ la courbure géodésique du bord (nulle sur les géodésiques), et $\theta_i = \pi – \alpha_i$ les angles de déviation aux sommets (angles extérieurs).

Preuve : Comme les côtés sont des géodésiques, $k_g = 0$. Ainsi :

$$\iint_T (-1) \, dA + 0 + \sum_{i=1}^3 (\pi – \alpha_i) = 2\pi.$$

Donc :

$-\operatorname{Area}(T) + 3\pi – (\alpha+\beta+\gamma) = 2\pi$

$\Rightarrow \operatorname{Area}(T) = \pi – (\alpha+\beta+\gamma) = \delta$. $\blacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple de calcul

Considérons un triangle hyperbolique idéal (tous les sommets sur le bord à l’infini). Ses angles sont alors $\alpha = \beta = \gamma = 0$. Le défaut vaut $\delta = \pi$, donc son aire est $\pi$ (aire maximale pour un triangle dans $\mathbb{H}$).

Contre-exemple euclidien

Un triangle euclidien a une somme d’angles exactement égale à $\pi$. En géométrie hyperbolique, tout triangle hyperbolique vérifie $\alpha+\beta+\gamma < \pi$. Ainsi, tout triangle avec $\alpha+\beta+\gamma = \pi$ ou $> \pi$ ne peut pas être hyperbolique (c’est soit euclidien, soit sphérique).

Conclusion

Les triangles hyperboliques illustrent la richesse de la géométrie non euclidienne. Leur étude rigoureuse passe par la maîtrise des modèles et des formules de distance. Pour approfondir, consultez les ressources de KeepMath ou le site de CultureMath.