Les matrices hermitiennes jouent un rôle central en algèbre linéaire et en mécanique quantique. Nous définirons ces matrices, énoncerons leurs propriétés fondamentales et en donnerons des preuves rigoureuses.
Définition formelle
Matrice hermitienne (ou auto-adjointes)
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice complexe de taille $n \times n$. On note $M^$ sa conjuguée transposée (ou adjointe hermitienne), définie par $M^ = \overline{M}^\top$. Les coefficients vérifient $(M^*)_{ij} = \overline{M_{ji}}$.
Définition : $M$ est une matrice hermitienne si et seulement si $M = M^*$. Cela équivaut à $\forall i,j,~ M_{ij} = \overline{M_{ji}}$.
En particulier, les coefficients diagonaux sont réels puisque $M_{ii} = \overline{M_{ii}}$.
Remarques et notations
L’ensemble des matrices hermitiennes de taille $n$ est souvent noté $\mathcal{H}_n(\mathbb{C})$ ou simplement $\mathcal{H}_n$. C’est un sous-espace vectoriel réel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ mais non complexe (car si $M$ est hermitienne, $iM$ ne l’est pas).
Une matrice symétrique réelle ($M = M^\top$ à coefficients réels) est un cas particulier de matrice hermitienne. En revanche, une matrice symétrique complexe ($M = M^\top$ sans conjugaison) n’est généralement pas hermitienne.
Théorèmes et propriétés centrales
Propriété 1 : Valeurs propres réelles
Théorème : Si $M \in \mathcal{H}_n(\mathbb{C})$, alors toutes les valeurs propres de $M$ sont des nombres réels.
Propriété 2 : Diagonalisation unitaire
Théorème (spectral pour les matrices hermitiennes) : Toute matrice hermitienne $M$ est diagonalisable par une matrice unitaire. Autrement dit, il existe une matrice unitaire $U$ (telle que $U^U = I$) et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $$M = U D U^.$$ Les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $M$, et les colonnes de $U$ forment une base orthonormée de vecteurs propres de $M$.
Propriété 3 : Forme quadratique
Pour tout vecteur colonne $x \in \mathbb{C}^n$, la forme quadratique hermitienne $x^* M x$ est un nombre réel si et seulement si $M$ est hermitienne.
Preuves rigoureuses
Preuve : Diagonalisation unitaire (esquisse)
Preuve : On utilise l’algèbre linéaire élémentaire. Soit $\lambda_1$ une valeur propre réelle de $M$ (elle existe sur $\mathbb{C}$). Soit $v_1$ un vecteur propre unitaire associé. On complète $v_1$ en une base orthonormée $B = (v_1, \dots, v_n)$ de $\mathbb{C}^n$. Soit $U$ la matrice unitaire dont les colonnes sont les vecteurs de $B$. Alors $U^M U$ a pour première colonne $U^ M v_1 = U^(\lambda_1 v_1) = \lambda_1 e_1$ (où $e_1$ est le premier vecteur de la base canonique). Par hermitianité, $U^ M U$ est encore hermitienne. On montre par récurrence que $U^* M U$ est diagonale. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Matrice hermitienne simple
La matrice $$M = \begin{pmatrix} 3 & 2+i \\ 2-i & -1 \end{pmatrix}$$ est hermitienne car $M_{12} = 2+i$ et $M_{21} = \overline{2+i} = 2-i$, et les diagonales sont réelles. Ses valeurs propres sont obtenues en résolvant $\det(M – \lambda I)=0$ : $\lambda^2 – 2\lambda – 9=0$, soit $\lambda = 1 \pm \sqrt{10}$ (réels).
Exemple 2 : Matrice non hermitienne
La matrice $$A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ n’est pas hermitienne car $A_{12} = i$ tandis que $\overline{A_{21}} = \overline{0} = 0$. Elle a pour valeurs propres $0$ (double) mais n’est pas diagonalisable (elle est nilpotente non nulle). Cela illustre que sans hermitianité, les valeurs propres peuvent être réelles sans garantie de diagonalisation.
Contre-exemple : Symétrique complexe non hermitienne
Soit $$S = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}.$$ On a $S^\top = S$ (symétrie), mais $S^* = \overline{S}^\top = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \neq S$. Donc $S$ n’est pas hermitienne. Ses valeurs propres sont $1+i$ et $1-i$, non réelles.
Applications et prolongements
Les matrices hermitiennes généralisent les formes bilinéaires symétriques aux formes sesquilinéaires hermitiennes. Elles sont intimement liées aux opérateurs self-adjoint en analyse fonctionnelle. Pour des exercices corrigés sur ce thème et d’autres en mathématiques supérieures, consultez notre collection de cours et exercices. Pour une perspective historique et des approfondissements, le site Culture.math propose des ressources externes pertinentes.