La Complétude est une propriété fondamentale des espaces métriques qui garantit l’existence de limites pour certaines suites de Cauchy. Elle est au cœur de l’analyse réelle et fonctionnelle.
Complétude : Définition Formelle
Définition de la Complétude
Soit $(E, d)$ un espace métrique.
Définition : On dit que $(E, d)$ est un espace complet si toute suite de Cauchy de $E$ converge dans $E$.
Une suite $(u_n)$ dans $E$ est de Cauchy si :
$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall p,q \ge N,\ d(u_p, u_q) < \varepsilon. $$
Rappel : Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy. La complétude exprime la réciproque.
Théorèmes Fondamentaux et Preuves
Existence d’une Complétion
Théorème : Tout espace métrique $(E, d)$ admet une complétion. C’est un espace complet $(\overline{E}, \overline{d})$ contenant $E$ comme sous-espace dense isométrique. Cette complétion est unique à isométrie près.
Preuve : La construction standard utilise les suites de Cauchy de $E$. On définit $\overline{E}$ comme l’ensemble des suites de Cauchy de $E$, modulo la relation d’équivalence « avoir même limite ». La distance $\overline{d}$ entre deux classes est $\lim d(u_n, v_n)$. On vérifie les axiomes d’un espace métrique. L’inclusion $i : E \to \overline{E}$ envoie $x \in E$ sur la suite constante égale à $x$. $i(E)$ est dense. La complétude de $\overline{E}$ provient de la définition. Pour l’unicité, si $(\overline{E}_1, \overline{d}_1)$ et $(\overline{E}_2, \overline{d}_2)$ sont deux complétions, l’isométrie s’étend de $E$ à $\overline{E}$ par densité et unicité des limites. $\blacksquare$
Complétude des Espaces de Banach
Théorème : Un espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ est un espace de Banach si et seulement si il est complet pour la métrique induite $d(x,y)=\|x-y\|$.
Preuve : Immédiat de la définition. La norme induit la métrique. La convergence d’une suite pour $d$ équivaut à la convergence en norme. $\blacksquare$
Exemples, Contre-exemples et Applications
Exemples Classiques d’Espaces Complets
- $\mathbb{R}$ avec la distance usuelle $d(x,y)=|x-y|$. C’est l’exemple fondamental. La propriété de la borne supérieure est équivalente à la complétude de $\mathbb{R}$.
- $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{C}^n$ avec la norme euclidienne. Toute suite de Cauchy est bornée, donc admet une sous-suite convergente (Bolzano-Weierstrass). La complétude s’en déduit.
- Espace $\ell^p(\mathbb{N})$ pour $1 \le p \le \infty$. C’est un espace de Banach. La preuve utilise le passage à la limite terme à terme après extraction d’une sous-suite convergente pour chaque coordonnée.
- Espace $L^p(X,\mu)$ pour $1 \le p \le \infty$. C’est un espace de Banach. La preuve utilise des extractions de sous-suites presque sûrement convergentes et la convergence en moyenne via le théorème de convergence dominée.
Contre-exemples : Espaces Non Complets
- $\mathbb{Q}$ (rationnels) avec la distance usuelle. La suite définie par $u_1=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n}$ est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ mais converge vers $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$ n’est pas complet.
- $\mathcal{C}^0([0,1])$ muni de la norme $\|\cdot\|_1$. Considérons la suite de fonctions $f_n(t) = t^n$. C’est une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_1$ car $\|f_p – f_q\|_1 \le \frac{1}{p+1}$ pour $p<q$. Elle converge ponctuellement vers une fonction discontinue en $1$. La limite n’appartient pas à $\mathcal{C}^0([0,1])$ pour $\|\cdot\|_1$.
- L’ensemble des polynômes $\mathbb{R}[X]$ dans $L^2([0,1])$. Il est dense mais non complet. Un contre-exemple classique est la suite des polynômes de Taylor de la fonction $|t|$ en $0$, qui est de Cauchy mais sa limite n’est pas un polynôme.
Propriété Caractéristique de $\mathbb{R}$
La complétude de $\mathbb{R}$ est équivalente à la propriété de la borne supérieure : tout sous-ensemble non vide majoré de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$. Cette propriété permet de prouver divers résultats comme l’existence d’une racine carrée pour tout réel positif.
$$
\forall x \in \mathbb{R}_+,\ \exists ! y \in \mathbb{R}_+,\ y^2 = x.
$$
Preuve : Soit $S = \{ t \in \mathbb{R}_+ \mid t^2 \le x \}$. $S$ est non vide (car $0 \in S$ si $x\ge0$) et majoré (par $x+1$ par exemple). Soit $y = \sup S$. On montre par contradiction que $y^2 = x$. Si $y^2 < x$, on trouve $\varepsilon >0$ tel que $(y+\varepsilon)^2 \le x$, contredisant la minimalité de $y$. Si $y^2 > x$, on trouve $\delta >0$ tel que $(y-\delta)^2 > x$, contredisant que $y$ est un majorant. $\blacksquare$
Application au Théorème de Point Fixe
Théorème du Point Fixe de Banach : Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace complet. Soit $f : E \to E$ une application contractante : il existe $k \in [0,1[$ tel que $\forall x,y \in E,\ \|f(x)-f(y)\| \le k \|x-y\|$. Alors $f$ possède un unique point fixe $x^\in E$ et pour tout $x_0 \in E$, la suite définie par $x_{n+1}=f(x_n)$ converge vers ce point fixe.
Preuve : La suite $(x_n)$ est de Cauchy car $\|x_{n+p}-x_n\| \le k^n \frac{\|x_1-x_0\|}{1-k}$ (somme géométrique). Par complétude, elle converge vers un $x^\in E$. Par continuité de $f$ (car $f$ est Lipschitz), $f(x^) = \lim f(x_n) = \lim x_{n+1} = x^*$. L’unicité vient de la contractance. $\blacksquare$
La complétude est donc indispensable : la preuve utilise explicitement la convergence d’une suite de Cauchy.
Conclusion et Ressources Complémentaires
La Complétude est la pierre angulaire qui sépare l’analyse sur $\mathbb{R}$ ou dans les espaces fonctionnels classiques de l’analyse sur des espaces plus grossiers. Elle garantit la robustesse des constructions par limites. Pour approfondir les ramifications de cette notion en analyse fonctionnelle et en topologie, consultez les ressources pédagogiques de KeepMath. Des développements historiques et théoriques supplémentaires sont disponibles sur CultureMaths.