La continuité uniforme est une condition de régularité plus stricte que la continuité simple pour les applications entre espaces métriques. Elle garantit que la variation de la fonction peut être contrôlée de manière uniforme sur tout son domaine, sans dépendre du point considéré.
Définition formelle et premières propriétés
Définition générale
Soient $(E, d_E)$ et $(F, d_F)$ deux espaces métriques. Une application $f: E \to F$ est uniformément continue sur $E$ si :
$$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall (x, y) \in E^2,\ d_E(x, y) \leq \eta \Rightarrow d_F(f(x), f(y)) \leq \varepsilon. $$
Contrairement à la continuité simple où $\eta$ peut dépendre du point $x$, ici $\eta$ ne dépend que de $\varepsilon$ et vaut pour tous les points de $E$ simultanément.
Continuité uniforme sur un compact
Théorème (Heine-Cantor) : Si $E$ est un espace métrique compact et $f: E \to F$ continue, alors $f$ est uniformément continue sur $E$.
Théorèmes fondamentaux
Caractérisation par les suites
Proposition : $f$ est uniformément continue sur $E$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ et $(v_n)$ d’éléments de $E$ telles que $\lim_{n \to +\infty} d_E(u_n, v_n) = 0$, on a $\lim_{n \to +\infty} d_F(f(u_n), f(v_n)) = 0$.
Stabilité par composition et opérations
Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ uniformément continues. Alors $g \circ f$ est uniformément continue. Si $f$ et $g$ sont uniformément continues et à valeurs réelles, alors $f+g$ et $f \cdot g$ (sur un espace borné) le sont aussi.
Preuves rigoureuses
Preuve du théorème de Heine-Cantor
Preuve : Supposons $f$ continue mais non uniformément continue. Alors $\exists \varepsilon_0 > 0$ tel que $\forall \eta > 0$, $\exists (x_\eta, y_\eta) \in E^2$ avec $d_E(x_\eta, y_\eta) \leq \eta$ et $d_F(f(x_\eta), f(y_\eta)) > \varepsilon_0$. Prenons $\eta_n = 1/n$. On construit deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans $E$ telles que $d_E(x_n, y_n) \leq 1/n$ mais $d_F(f(x_n), f(y_n)) > \varepsilon_0$. Comme $E$ est compact, on peut extraire une sous-suite convergente de $(x_n)$, disons $x_{\varphi(n)} \to x \in E$. Alors $y_{\varphi(n)} \to x$ aussi par l’inégalité triangulaire. Par continuité de $f$ en $x$, $f(x_{\varphi(n)})$ et $f(y_{\varphi(n)})$ convergent vers $f(x)$, donc leur distance tend vers 0, contradiction. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples essentiels
Exemples classiques
- Fonction linéaire : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto ax+b$ est uniformément continue car $|f(x)-f(y)| = |a||x-y|$.
- Fonction racine carrée : $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur tout intervalle $[0, A]$ avec $A$ fini (par Heine-Cantor) mais pas sur $[0, +\infty[$.
- Fonction sinus : $\sin$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ car $|\sin x – \sin y| \leq |x-y|$ (inégalité de Lipschitz).
Contre-exemple significatif
Soit $f: ]0,1] \to \mathbb{R},\ x \mapsto 1/x$. Cette fonction n’est pas uniformément continue. Prenons $\varepsilon = 1$. Pour tout $\eta > 0$, choisissons $x = \min(\eta/2, 1/2)$ et $y = x/2$. Alors $|x-y| = x/2 \leq \eta/2 \leq \eta$ mais $|f(x)-f(y)| = |1/x – 2/x| = 1/x \geq 2 > \varepsilon$.
Exemple pathologique
La fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$. En effet, $\forall \eta > 0$, prenons $x = 1/\eta$ et $y = 1/\eta + \eta/2$. Alors $|x-y| = \eta/2 \leq \eta$ mais $|f(x)-f(y)| = |(1/\eta)^2 – (1/\eta + \eta/2)^2| \approx \eta$ qui ne peut être rendu arbitrairement petit fixé $\eta$.
Liens avec d’autres notions
Relation avec la continuité簡單
Toute fonction uniformément continue est continue. La réciproque est fausse en général. Un contre-exemple classique est $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, continue mais non uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
Condition suffisante : les fonctions lipschitziennes
Si $f$ est $\lambda$-lipschitzienne, i.e. $\exists \lambda > 0$ tel que $\forall (x,y) \in E^2,\ d_F(f(x), f(y)) \leq \lambda d_E(x, y)$, alors $f$ est uniformément continue (prendre $\eta = \varepsilon/\lambda$).
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