Définitions formelles
Variété différentiable
Une variété différentiable de dimension n est un espace topologique séparé, $C^0$ (hausdorff) et deuxième-comptable, muni d’un atlas différentiable maximal. Un atlas est une collection de cartes $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ où les $U_\alpha$ sont des ouverts recouvrant la variété $M$ et les $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \varphi_\alpha(U_\alpha) \subset \mathbb{R}^n$ sont des homéomorphismes sur des ouverts de $\mathbb{R}^n$. Pour toute paire de cartes $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ et $(U_\beta, \varphi_\beta)$ avec $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$, l’application de transition $\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$ doit être $C^k$ (de classe $C^\infty$ en général).
Applications différentiables
Soient $M$ et $N$ deux variétés différentiables de dimensions respectives $m$ et $n$. Une application $f: M \rightarrow N$ est différentiable (de classe $C^k$) en un point $p \in M$ s’il existe des cartes $(U, \varphi)$ autour de $p$ et $(V, \psi)$ autour de $f(p)$ telles que $f(U) \subset V$ et l’application $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \psi(V) \subset \mathbb{R}^n$ soit $C^k$ au point $\varphi(p)$.
Espace tangent
En un point $p \in M$, l’espace tangent $T_p M$ est l’ensemble des dérivations en $p$. Il est de dimension $n$ et peut être identifié à $\mathbb{R}^n$ via une carte locale. La différentielle de $f$ en $p$ est l’application linéaire $df_p: T_p M \rightarrow T_{f(p)} N$ définie par $df_p(X)(g) = X(g \circ f)$ pour toute fonction $g \in C^\infty(N)$.
Théorèmes & Propriétés
Unicité de la structure différentiable maximale
Sur une variété topologique $M$, un atlas $C^k$ est contenu dans un unique atlas maximal, la structure différentiable associée. Deux atlas maximaux sont égaux ou disjoints.
Théorème de plongement de Whitney
Toute variété différentiable de dimension $n$ peut être plongée ( injection différentiable et homéomorphisme sur son image) dans $\mathbb{R}^{2n}$. Elle peut même être plongée régulière (sous-variété) dans $\mathbb{R}^{2n+1}$.
Invariance de la dimension
Si $M$ est une variété connexe, elle possède une dimension bien définie. Autrement dit, si $M$ admet des cartes de dimensions $m$ et $n$, alors $m = n$.
Preuves
Preuve de l’unicité de la structure différentiable maximale
Preuve : Soit $\mathcal{A}$ un atlas $C^k$ sur $M$. Considérons l’ensemble $\tilde{\mathcal{A}}$ de toutes les cartes $(U, \varphi)$ telles que pour toute $(V, \psi) \in \mathcal{A}$ avec $U \cap V \neq \emptyset$, les applications de transition $\varphi \circ \psi^{-1}$ et $\psi \circ \varphi^{-1}$ sont $C^k$. $\tilde{\mathcal{A}}$ est clairement un atlas contenant $\mathcal{A}$ et maximal par construction. S’il existait un autre atlas maximal $\mathcal{A}’$ contenant $\mathcal{A}$, alors toute carte de $\mathcal{A}’$ serait dans $\tilde{\mathcal{A}}$ par définition de $\tilde{\mathcal{A}}$. Donc $\mathcal{A}’ \subset \tilde{\mathcal{A}}$, et par maximalité, $\mathcal{A}’ = \tilde{\mathcal{A}}$. Ainsi, l’atlas maximal est unique. $\blacksquare$
Preuve de l’invariance de la dimension (esquisse)
Preuve : On utilise le théorème du rang pour la différentielle de la transition entre deux cartes de dimensions $m$ et $n$ en un point d’intersection. Cette différentielle est un isomorphisme linéaire car les cartes sont des homéomorphismes. Son rang vaut donc $\min(m,n)$ et doit être égal à $m$ et à $n$. D’où $m = n$. $\blacksquare$
Exemples & Contre-exemples
Exemples fondamentaux
- Sphère $S^n$ : Ensemble des points de $\mathbb{R}^{n+1}$ de norme 1. Atlas standard : projections stéréographiques depuis les pôles Nord et Sud. Cartes vers $\mathbb{R}^n$, transitions $C^\infty$.
- Tore $T^n = S^1 \times \cdots \times S^1$ : Produit de $n$ cercles. Dimension $n$. Atlas produit des cartes angulaires $\theta \in (0, 2\pi)$.
- Espace de Grassmann $G_k(\mathbb{R}^n)$ : Variété des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ dans $\mathbb{R}^n$. Dimension $k(n-k)$. Se paramètre par les matrices de rang $k$ à $n$ lignes modulo l’action de $GL_k(\mathbb{R})$.
Contre-exemple : variété topologique non différentiable
Il existe des variétés topologiques n’admettant aucune structure différentiable. Le premier exemple a été construit par Milnor (1956) avec la sphère $S^7$ : elle possède 28 structures différentiables distinctes (exotiques). Certaines variétés de dimension 4 (comme certains $\mathbb{R}^4$ exotiques) sont particulièrement pathologiques : elles sont homéomorphes à $\mathbb{R}^4$ mais non difféomorphes, rendant impossible l’adhésion à une carte différentiable standard.
Exemple de pseudo-variété : le cône
Le cône $C = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = \sqrt{x^2+y^2}\}$ est une surface topologique mais pas une variété différentiable au sommet $(0,0,0)$. En effet, tout voisinage du sommet n’est pas homéomorphe à un ouvert de $\mathbb{R}^2$ car le sommet est un point de ramification.
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