Une application linéaire (ou morphisme d’espaces vectoriels) est une fonction qui « respecte » la structure d’espace vectoriel. C’est-à-dire qu’elle préserve les additions de vecteurs et les multiplications par un scalaire. Géométriquement, ce sont des transformations qui conservent l’origine et transforment les droites en droites.
Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels et $f$ une application de $E$ dans $F$. Pour démontrer que $f$ est linéaire, il faut vérifier trois points :
- Image du vecteur nul (Optionnel mais rapide) : Vérifier que l’image du vecteur nul de $E$ est le vecteur nul de $F$.
$f(0_E) = 0_F$.
Si ce n’est pas le cas, l’application n’est pas linéaire et on peut s’arrêter là. Si c’est le cas, on doit continuer. - Additivité (respect de l’addition) : Montrer que l’image de la somme de deux vecteurs est la somme de leurs images.
$\forall (u, v) \in E^2, \quad f(u + v) = f(u) + f(v)$. - Homogénéité (respect de la multiplication scalaire) : Montrer que l’image d’un vecteur multiplié par un scalaire est l’image du vecteur, multipliée par ce même scalaire.
$\forall u \in E, \forall \lambda \in K, \quad f(\lambda \cdot u) = \lambda \cdot f(u)$.
Exemple : Une application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$
Soit l’application $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x, y) = (x+y, x-y, 2x)$. Montrons qu’elle est linéaire.
1. Vérification du vecteur nul :
$f(0, 0) = (0+0, 0-0, 2 \cdot 0) = (0, 0, 0)$. La condition $f(0_{\mathbb{R}^2}) = 0_{\mathbb{R}^3}$ est bien vérifiée. On continue.
2. Vérification de l’additivité :
Soient deux vecteurs $u = (x_1, y_1)$ et $v = (x_2, y_2)$ de $\mathbb{R}^2$. Leur somme est $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2)$.
Calculons $f(u+v)$ :
$f(x_1+x_2, y_1+y_2) = ((x_1+x_2) + (y_1+y_2), (x_1+x_2) – (y_1+y_2), 2(x_1+x_2))$
$f(u+v) = (x_1+x_2+y_1+y_2, x_1+x_2-y_1-y_2, 2x_1+2x_2)$
Maintenant, calculons $f(u) + f(v)$ :
$f(u) = (x_1+y_1, x_1-y_1, 2x_1)$
$f(v) = (x_2+y_2, x_2-y_2, 2x_2)$
$f(u)+f(v) = ((x_1+y_1)+(x_2+y_2), (x_1-y_1)+(x_2-y_2), 2x_1+2x_2)$
$f(u)+f(v) = (x_1+y_1+x_2+y_2, x_1-y_1+x_2-y_2, 2x_1+2x_2)$
En réorganisant les termes, on voit bien que $f(u+v) = f(u) + f(v)$. La condition est remplie.
3. Vérification de l’homogénéité :
Soit $u = (x, y)$ un vecteur de $\mathbb{R}^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ un scalaire. Le vecteur $\lambda u$ est $(\lambda x, \lambda y)$.
Calculons $f(\lambda u)$ :
$f(\lambda x, \lambda y) = ((\lambda x) + (\lambda y), (\lambda x) – (\lambda y), 2(\lambda x)) = (\lambda(x+y), \lambda(x-y), \lambda(2x))$
Maintenant, calculons $\lambda f(u)$ :
$\lambda f(x, y) = \lambda (x+y, x-y, 2x) = (\lambda(x+y), \lambda(x-y), \lambda(2x))$
On voit que $f(\lambda u) = \lambda f(u)$. La condition est remplie.
Puisque $f$ vérifie les propriétés d’additivité et d’homogénéité, nous pouvons conclure que $f$ est une application linéaire.