Théorème de Stokes : Démonstrations, Propriétés et Corollaires connues

Le théorème de Stokes est un résultat fondamental de l’analyse vectorielle et de la géométrie différentielle qui généralise le théorème de Green, le théorème de la divergence et le théorème de Kelvin-Stokes. Il établit une relation profonde entre l’intégrale d’une forme différentielle sur le bord d’une variété orientée et l’intégrale de sa différentielle sur la variété elle-même.

Définitions formelles

Variétés différentiables orientées

Une variété différentiable de dimension $ n $ est un espace topologique $ M $ tel que tout point possède un voisinage homéomorphe à un ouvert de $ \mathbb{R}^n $, avec des changements de cartes $ C^\infty $. Une orientation sur $ M $ est un choix cohérent de classes d’équivalence des cartes locales, où deux cartes sont équivalentes si le déterminant de la matrice jacobienne de la transition est positif. La frontière $ \partial M $ d’une variété à bord est également une variété de dimension $ n-1 $, héritant d’une orientation induite par celle de $ M $ (règle de la « main droite »).

Formes différentielles

Une $ k $-forme différentielle $ \omega $ sur $ M $ est une section lisse du $ k $-ième produit extérieur du fibré cotangent. Localement, en cartes $ (x^1, \dots, x^n) $, elle s’écrit :

$$
\omega = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} f_{i_1 \dots i_k}(x) \, dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} $$

où les $ f_{i_1 \dots i_k} $ sont des fonctions $ C^\infty $. La différentielle extérieure $ d\omega $ est une $ (k+1) $-forme définie par :

$$
d\omega = \sum_{i_1 < \dots < i_k} \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_{i_1 \dots i_k}}{\partial x^j} \, dx^j \wedge dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k} $$

Théorème de Stokes

Énoncé général

Soit $ M $ une variété différentiable orientée de dimension $ n $ à bord $ \partial M $ (lui-même orienté par l’orientation induite). Soit $ \omega $ une $ (n-1) $-forme différentielle $ C^\infty $ sur $ M $. Alors :

$$
\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega
$$

L’intégrale d’une $ k $-forme sur une $ k $-variété orientée se définit par partition de l’unité et collage des intégrales locales en coordonnées. Le théorème de Stokes unit ainsi l’intégrale sur le bord et l’intégrale de la différentielle sur la variété.

Cas particuliers

Théorème de Green (dimension 2) : pour un domaine $ D \subset \mathbb{R}^2 $ à bord $ \Gamma $ orienté positivement, et $ P, Q $ $ C^1 $, on a : $ \int_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \int_\Gamma P dx + Q dy $. C’est le cas $ n=2 $, $ \omega = P dx + Q dy $.

Théorème de la divergence (Gauss-Ostrogradski, dimension 3) : pour un volume $ V \subset \mathbb{R}^3 $ à surface $ S $ orientée vers l’extérieur, et $ \mathbf{F} $ un champ de vecteurs $ C^1 $, on a : $ \int_V \mathrm{div}\,\mathbf{F} \, dV = \int_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS $. Cela correspond à $ \omega = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} $ (2-forme) et $ d\omega = \mathrm{div}\,\mathbf{F} \, dV $.

Théorème de Kelvin-Stokes (dimension 3) : pour une surface $ S $ orientée à bord $ \Gamma $ orienté par la règle de la main droite, et $ \mathbf{F} $ un champ de vecteurs $ C^1 $, on a : $ \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \int_\Gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. C’est le cas $ n=3 $, $ \omega = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ (1-forme).

Preuve du théorème de Stokes

Réduction au cas d’une variété de dimension 1

La preuve utilise une partition de l’unité $ \{ \phi_i \} $ subordonnée à un atlas de $ M $. Il suffit de démontrer le théorème pour le support de chaque $ \phi_i $, qui est contenu dans une carte $ U $ diffémorphe à un ouvert de $ \mathbb{H}^n $ (demi-espace). L’orientation de $ M $ permet de choisir les cartes de sorte que le Jacobien des transitions soit partout positif. Sur une carte, $ \omega $ s’écrit en coordonnées locales, et il suffit de démontrer le théorème pour les formes basiques $ dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}} $. On se ramène ainsi à intégrer des dérivées partielles de fonctions $ C^\infty $ le long d’intervalle, ce qui donne le théorème fondamental du calcul.

Utilisation d’une partition de l’unité

Soit $ \{ \phi_i \} $ une partition de l’unité $ C^\infty $ subordonnée à un atlas $ \{ (U_i, \psi_i) \} $ avec chaque $ \psi_i : U_i \to \mathbb{R}^n $ une immersion injective. Alors :

$$
\omega = \sum_i \phi_i \omega, \quad d\omega = \sum_i d\phi_i \wedge \omega + \phi_i d\omega
$$

Par linéarité, l’intégrale sur $ M $ se décompose en somme des intégrales sur les supports des $ \phi_i $. De même, $ \partial M $ est recouvert par les $ \partial (\mathrm{supp} \phi_i) $. On applique le cas local sur chaque $ \mathrm{supp} \phi_i $, qui est contenu dans une carte. Sur une carte $ U $ munie de coordonnées $ (x^1, \dots, x^n) $, toute $ (n-1) $-forme $ \omega $ s’écrit :

$$
\omega = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} f_j(x) \, dx^1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx^j} \wedge \dots \wedge dx^n
$$

où $ \widehat{dx^j} $ signifie que $ dx^j $ est omis. Alors :

$$
d\omega = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \frac{\partial f_j}{\partial x^j} \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n
$$

L’intégrale sur $ M \cap U $ (qui est un ouvert de $ \mathbb{R}^n $ ou $ \mathbb{H}^n $) devient :

$$
\int_{M \cap U} d\omega = \int_{M \cap U} \left( \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \frac{\partial f_j}{\partial x^j} \right) dx^1 \dots dx^n
$$

Par le théorème de Fubini-Tonelli, on intègre successivement par rapport à chaque variable. L’intégrale par rapport à $ x^j $ sur l’intervalle $[a_j, b_j(x^1,\dots,\widehat{x^j},\dots,x^n)]$ donne $ f_j(b_j) – f_j(a_j) $, où les bornes correspondent aux valeurs de $ x^j $ sur le bord $ \partial (M \cap U) $. Le signe $ (-1)^{j-1} $ et l’orientation du bord font que la somme de ces termes correspond exactement à l’intégrale de $ \omega $ sur $ \partial (M \cap U) $. On obtient ainsi localement :

$$
\int_{M \cap U} d\omega = \int_{\partial (M \cap U)} \omega
$$

En sommant sur les partitions, grâce au fait que les termes d’intersection s’annulent deux à deux (à l’intérieur de $ M $), on conclut que :

$$
\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega
$$

$lacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple 1 : Calcul d’une intégrale de surface

Soit $ S $ la surface de l’hémi-sphère $ x^2+y^2+z^2=1 $, $ z \geq 0 $, orientée par la normale sortante. On calcule $ \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $ pour $ \mathbf{F}(x,y,z) = (y, -x, 0) $. On a $ \nabla \times \mathbf{F} = (0,0,-2) $. Paramétrage : $ \mathbf{r}(\theta,\phi) = (\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \cos\phi) $, avec $ \theta \in [0,2\pi] $, $ \phi \in [0, \pi/2] $. Les vecteurs tangents : $ \mathbf{r}_\theta $ et $ \mathbf{r}_\phi $, leur produit vectoriel donne $ \mathbf{n} \, dS = \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi \, d\theta d\phi = (\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \cos\phi) \sin\phi \, d\theta d\phi $ (normal sortant). Alors :

$$
(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = (0,0,-2) \cdot (\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta, \cos\phi) \sin\phi \, d\theta d\phi = -2 \cos\phi \sin\phi \, d\theta d\phi
$$

Intégration :

$$
\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = -2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \, d\phi = -4\pi \left[ \frac{\sin^2\phi}{2} \right]_0^{\pi/2} = -4\pi \cdot \frac{1}{2} = -2\pi
$$

Le bord $ \partial S $ est le cercle $ x^2+y^2=1 $, $ z=0 $, orienté positivement (sens trigonométrique vu du dessus). On a $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = y dx – x dy $. Sur le cercle, $ x=\cos t, y=\sin t, t \in [0,2\pi] $, alors $ dx = -\sin t dt, dy = \cos t dt $ :

$$
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \sin t (-\sin t dt) – \cos t (\cos t dt) = -(\sin^2 t + \cos^2 t) dt = -dt
$$

Ainsi :

$$
\int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_0^{2\pi} dt = -2\pi
$$

Les deux intégrales coïncident, vérifiant le théorème de Stokes.

Contre-exemple : Non-orientabilité

Le théorème de Stokes nécessite que $ M $ soit orientable. La bouteille de Klein $ K $ est une variété fermée non orientable de dimension 2. Il n’existe pas de 2-forme définieglobalement dont l’intégrale sur $ K $ ait un sens, car $ K $ n’admet pas d’orientation globale. Si l’on tente d’appliquer une forme $ \omega $ localement définie, l’intégrale sur $ \partial K $ (qui est vide car $ K $ est sans bord) ne correspond pas à une intégrale sur $ K $ de $ d\omega $, car l’orientation ne peut être cohérente. Ainsi, l’énoncé du théorème de Stokes échoue pour les variétés non orientables. On peut néanmoins le formuler localement ou pour des variétés orientables par morceaux.

Exemple 2 : Application au théorème de la divergence

Soit $ V $ le volume $ \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1 \} $ (boule unité). Pour $ \mathbf{F} = (x, y, z) $, on a $ \mathrm{div}\,\mathbf{F} = 3 $. Alors :

$$
\int_V \mathrm{div}\,\mathbf{F} \, dV = \int_V 3 \, dV = 3 \times \frac{4}{3}\pi = 4\pi
$$

La surface $ S = \partial V $ est la sphère $ x^2+y^2+z^2=1 $, orientée par la normale sortante $ \mathbf{n} = (x,y,z) $. On a $ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = x^2+y^2+z^2 = 1 $. Donc :

$$
\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_S 1 \, dS = \text{aire de la sphère} = 4\pi
$$

Les deux côtés sont égaux, illustrant le théorème de Stokes sous la forme du théorème de la divergence.

Conclusion

Le théorème de Stokes est un pilier de l’analyse multivariable et de la géométrie différentielle, unifiant sous une forme élégante de nombreux résultats classiques. Sa preuve repose sur la partition de l’unité et la réduction au calcul intégral en dimension un. Les conditions d’orientabilité et de régularité sont essentielles. Pour des cours et exercices complémentaires de mathématiques supérieures, licence ou prépa, consultez cet ensemble de ressources pédagogiques. Des approfondissements historiques et théoriques sont disponibles sur le site CultureMATH.