Comment Utiliser la Formule de Grassmann
La formule de Grassmann est une relation fondamentale qui relie les dimensions de deux sous-espaces vectoriels, $F$ and $G$, à celles de leur somme ($F+G$) et de leur intersection ($F \cap G$). C’est un outil puissant pour déduire une dimension manquante ou pour vérifier la cohérence de ses calculs.
Pour deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ d’un même espace vectoriel $E$, on a :
$\text{dim}(F+G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F \cap G)$
Intuitivement, cela signifie que pour obtenir la « taille » de l’espace total engendré ($F+G$), on additionne les « tailles » de $F$ et $G$, mais on doit soustraire la « taille » de ce qu’ils ont en commun ($F \cap G$) pour ne pas le compter deux fois.
Exemple 1 : Vérifier un calcul
Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F$ le plan d’équation $z=0$ et $G$ le plan d’équation $y=0$.
1. Calculons chaque dimension séparément :
– $F = \text{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$, donc $\text{dim}(F)=2$.
– $G = \text{Vect}((1,0,0), (0,0,1))$, donc $\text{dim}(G)=2$.
– $F \cap G$ : les vecteurs $(x,y,z)$ doivent vérifier $z=0$ et $y=0$. Ce sont les vecteurs de la forme $(x,0,0)$. Donc $F \cap G = \text{Vect}((1,0,0))$ et $\text{dim}(F \cap G)=1$.
– $F+G = \text{Vect}((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$, donc $F+G = \mathbb{R}^3$ et $\text{dim}(F+G)=3$.
2. Appliquons la formule :
$\text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F \cap G) = 2 + 2 – 1 = 3$.
Ce résultat est bien égal à $\text{dim}(F+G)$. Le calcul est cohérent.
Exemple 2 : Trouver la dimension de l’intersection
Dans $\mathbb{R}^4$, soit $F = \text{Vect}(u_1, u_2)$ et $G = \text{Vect}(v_1, v_2)$ avec $u_1=(1,1,0,0)$, $u_2=(0,1,1,0)$, $v_1=(0,0,1,1)$, $v_2=(1,0,0,1)$.
1. Dimensions de F et G :
Les familles $(u_1, u_2)$ et $(v_1, v_2)$ sont clairement libres. Donc $\text{dim}(F)=2$ et $\text{dim}(G)=2$.
2. Dimension de F+G :
$F+G = \text{Vect}(u_1, u_2, v_1, v_2)$. On calcule le rang de cette famille.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. On peut calculer son déterminant, il est non nul. Le rang est 4.
Donc $\text{dim}(F+G)=4$.
3. Utiliser Grassmann pour trouver $\text{dim}(F \cap G)$ :
$\text{dim}(F \cap G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F+G)$.
$\text{dim}(F \cap G) = 2 + 2 – 4 = 0$.
Conclusion : L’intersection est de dimension 0, donc $F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^4}\}$.
Exemple 3 : Prouver qu’une somme est directe
Une somme est dite directe, notée $F \oplus G$, si $F \cap G = \{0\}$.
Dans $\mathbb{R}^3$, soient $F$ le plan d’équation $x+y+z=0$ et $G$ la droite $\text{Vect}((1,1,1))$.
1. Dimensions de F et G :
$F$ est un plan, $\text{dim}(F)=2$.
$G$ est une droite, $\text{dim}(G)=1$.
2. Vérifions si le vecteur de G est dans F :
Pour le vecteur $(1,1,1)$, on a $1+1+1 = 3 \neq 0$. Le vecteur directeur de $G$ n’est pas dans $F$.
Comme $G$ est une droite, le seul vecteur de $G$ qui pourrait être dans $F$ est le vecteur nul.
Donc $F \cap G = \{0\}$ et $\text{dim}(F \cap G)=0$.
3. Utiliser Grassmann pour trouver la dimension de la somme :
$\text{dim}(F+G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G) – \text{dim}(F \cap G) = 2 + 1 – 0 = 3$.
Conclusion : La somme est de dimension 3 dans $\mathbb{R}^3$, donc $F+G = \mathbb{R}^3$. Comme l’intersection est nulle, on peut écrire $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$. $F$ et $G$ sont dits supplémentaires.
- Quand le calcul de la dimension de l’intersection est compliqué, mais que celui de la somme (via le rang d’une grande matrice) est direct.
- Quand on veut prouver qu’une somme est directe. On montre que $\text{dim}(F+G) = \text{dim}(F) + \text{dim}(G)$, ce qui implique que $\text{dim}(F \cap G)=0$.
- Pour s’assurer rapidement qu’on ne s’est pas trompé dans des calculs plus longs de bases de l’intersection ou de la somme.