Déterminer le Rang de la Composée de Deux Applications Linéaires
Lorsqu’on compose deux applications linéaires, $f: E \to F$ et $g: F \to G$, pour former $g \circ f$, le rang de la nouvelle application est contraint par les rangs de $f$ et $g$. On ne peut pas calculer le rang exact sans connaître les applications, mais on peut établir des inégalités très utiles qui l’encadrent.
Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications linéaires, avec $E, F, G$ des espaces de dimension finie.
- Majoration du rang : Le rang de la composée est toujours plus petit que le rang de chacune des applications.
$\text{rang}(g \circ f) \le \min(\text{rang}(g), \text{rang}(f))$
Intuitivement, on ne peut pas « gagner » de dimension en composant. Si $f$ « écrase » l’espace sur un plan, $g$ ne pourra pas transformer ce plan en quelque chose de plus grand qu’un plan. - Minoration du rang (Inégalité de Sylvester) :
$\text{rang}(g \circ f) \ge \text{rang}(g) + \text{rang}(f) – \dim(F)$
Cette inégalité est plus subtile et donne une borne inférieure.
Exemple 1 : Le rang diminue
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ de matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
– $\text{rang}(f) = \text{rang}(A) = 2$.
– $\text{rang}(g) = \text{rang}(B) = 2$.
– L’application composée $g \circ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ a pour matrice $C = BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$\text{rang}(g \circ f) = \text{rang}(C) = 1$.
Vérifions les inégalités :
– $1 \le \min(2, 2)$ : Vrai.
– $1 \ge 2 + 2 – \dim(\mathbb{R}^3) = 4 – 3 = 1$ : Vrai.
Exemple 2 : Composition avec un isomorphisme
Si l’une des applications est un isomorphisme, le rang est conservé.
Soit $f: E \to F$ et $g: F \to G$.
– Si $g$ est un isomorphisme (donc injectif), alors $\text{rang}(g \circ f) = \text{rang}(f)$.
– Si $f$ est un isomorphisme (donc surjectif), alors $\text{rang}(g \circ f) = \text{rang}(g)$.
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ($\text{rang}(f)=1$) et $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ un isomorphisme de matrice $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ($\text{rang}(g)=2$).
$BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$.
$\text{rang}(g \circ f) = \text{rang}(BA)=1$. On a bien $\text{rang}(g \circ f) = \text{rang}(f)$.
Exemple 3 : Utiliser Sylvester pour une démonstration
Soient $A, B$ deux matrices carrées de taille $n \times n$. Montrons que si $AB=0$, alors $\text{rang}(A) + \text{rang}(B) \le n$.
$AB=0$ signifie que l’application composée a un rang nul : $\text{rang}(g \circ f) = 0$.
On utilise l’inégalité de Sylvester :
$\text{rang}(g \circ f) \ge \text{rang}(g) + \text{rang}(f) – \dim(F)$.
En termes de matrices :
$\text{rang}(AB) \ge \text{rang}(A) + \text{rang}(B) – n$.
Comme $\text{rang}(AB)=0$, on a :
$0 \ge \text{rang}(A) + \text{rang}(B) – n$.
Ce qui est exactement $\text{rang}(A) + \text{rang}(B) \le n$.
La composition d’applications linéaires se traduit par la multiplication de leurs matrices ($M(g \circ f) = M(g)M(f)$). Le rang de la matrice produit est donc soumis aux mêmes contraintes.
- Le rang ne peut jamais augmenter lors d’une composition.
- Le rang est conservé si on compose (à gauche ou à droite) par un isomorphisme. C’est l’idée derrière les opérations élémentaires du pivot de Gauss, qui reviennent à multiplier par des matrices inversibles.