Une suite bornée est une suite dont les valeurs sont « contenues » dans un intervalle fixe. C’est une propriété fondamentale qui garantit que la suite ne « s’échappe » ni vers l’infini positif, ni vers l’infini négatif. Démontrer qu’une suite est bornée est une étape clé dans l’étude de sa convergence.
Une suite $(u_n)$ est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Autrement dit, il existe deux nombres réels, $m$ et $M$, tels que pour tout entier naturel $n$ :
$m \le u_n \le M$
Une définition équivalente, souvent très pratique, est : une suite $(u_n)$ est bornée s’il existe un nombre réel positif $A$ tel que, pour tout $n$, $|u_n| \le A$.
La Méthode en Deux Étapes
Pour prouver qu’une suite est bornée, la méthode la plus directe est de le faire en deux temps :
- Montrer que la suite est majorée : Trouver un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$.
- Montrer que la suite est minorée : Trouver un réel $m$ tel que $u_n \ge m$ pour tout $n$.
Chaque étape peut être résolue en utilisant les techniques vues précédemment (étude de fonction, récurrence, manipulation algébrique…).
Exemple 1 : Suite avec sinus ou cosinus
Les suites trigonométriques sont souvent les exemples les plus simples de suites bornées.
Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 4\cos(n) – 3$.
On part de l’encadrement connu de la fonction cosinus :
$-1 \le \cos(n) \le 1$.
On multiplie par 4 (positif, donc l’ordre est conservé) :
$-4 \le 4\cos(n) \le 4$.
On soustrait 3 à chaque membre :
$-4 – 3 \le 4\cos(n) – 3 \le 4 – 3$.
Soit : $-7 \le u_n \le 1$.
Conclusion : La suite $(u_n)$ est minorée par -7 et majorée par 1, elle est donc bornée.
Exemple 2 : Étude d’une suite explicite
Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{5n+3}{n+1}$.
1. Cherchons un majorant :
On transforme l’expression : $u_n = \frac{5(n+1) – 5 + 3}{n+1} = \frac{5(n+1) – 2}{n+1} = 5 – \frac{2}{n+1}$.
Comme $n \ge 0$, on a $n+1 > 0$, donc $\frac{2}{n+1} > 0$.
Par conséquent, $u_n = 5 – (\text{un nombre positif}) < 5$. La suite est majorée par 5.
2. Cherchons un minorant :
La suite est-elle monotone ? Étudions $u_{n+1}-u_n$. Après calcul, on trouve que $(u_n)$ est croissante. Son premier terme est donc son plus petit terme.
$u_0 = \frac{5(0)+3}{0+1} = 3$.
Puisque la suite est croissante, pour tout $n \ge 0$, on a $u_n \ge u_0$, soit $u_n \ge 3$. La suite est minorée par 3.
Conclusion : Puisque $3 \le u_n < 5$ pour tout $n$, la suite $(u_n)$ est bornée.
- Théorème fondamental : Toute suite convergente est bornée. C’est logique : si une suite se rapproche d’une limite finie, elle ne peut pas s’enfuir vers l’infini.
- Attention, la réciproque est fausse ! Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. L’exemple classique est $u_n = (-1)^n$, qui est bornée (entre -1 et 1) mais qui oscille sans jamais se fixer sur une limite.
- Théorème de Bolzano-Weierstrass : Ce théorème puissant nous dit que de toute suite réelle bornée, on peut extraire au moins une sous-suite qui converge.