Comment prouver qu’une suite est minorée

Symétriquement à la notion de suite majorée, une suite est dite minorée si ses termes ne descendent jamais en dessous d’une certaine valeur « plancher ». Savoir le démontrer est tout aussi fondamental, notamment pour garantir la convergence des suites décroissantes.

Méthode 1 : Étude directe de l’expression de $u_n$

Cette approche consiste à transformer l’expression de $u_n$ pour isoler une constante et une partie dont le signe est connu.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{5n+1}{n+1}$.
On transforme l’expression en faisant apparaître $(n+1)$ au numérateur :
$5n+1 = 5(n+1) – 5 + 1 = 5(n+1) – 4$.
Donc, $u_n = \frac{5(n+1) – 4}{n+1} = 5 – \frac{4}{n+1}$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n+1 \ge 1$, donc $0 < \frac{4}{n+1} \le 4$.
En multipliant par -1, on inverse l’inégalité : $-4 \le -\frac{4}{n+1} < 0$.
Enfin, en ajoutant 5 : $5-4 \le 5 – \frac{4}{n+1} < 5$, soit $1 \le u_n < 5$.
Conclusion : La suite $(u_n)$ est minorée par 1.

Méthode 2 : Étude de la fonction associée $u_n = f(n)$

Si $u_n = f(n)$, le problème revient à trouver un minorant pour la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$. Le tableau de variations est l’outil idéal pour trouver le minimum de la fonction.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 – 8n + 10$.
Considérons la fonction $f(x) = x^2 – 8x + 10$ sur $[0, +\infty[$.
Sa dérivée est $f'(x) = 2x – 8$.
$f'(x) = 0 \iff 2x – 8 = 0 \iff x = 4$.
La dérivée est négative avant 4 et positive après. La fonction $f$ admet donc un minimum en $x=4$.
Ce minimum vaut $f(4) = 4^2 – 8(4) + 10 = 16 – 32 + 10 = -6$.
Comme $f(x) \ge -6$ pour tout $x \ge 0$, il en va de même pour les termes de la suite.
Conclusion : La suite $(u_n)$ est minorée par -6.

Méthode 3 : Le raisonnement par récurrence

Indispensable pour les suites récurrentes, cette méthode permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les termes de la suite à partir du premier.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.
Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 6$.

Initialisation (n=0) :
$u_0 = 10$. On a bien $10 \ge 6$. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier $k \ge 0$, on ait $u_k \ge 6$ (Hypothèse de Récurrence).
Montrons que $u_{k+1} \ge 6$.
On part de l’hypothèse : $u_k \ge 6$.
On multiplie par $\frac{1}{2}$ (positif) : $\frac{1}{2}u_k \ge 3$.
On ajoute 3 de chaque côté : $\frac{1}{2}u_k + 3 \ge 3 + 3$.
Ce qui s’écrit : $u_{k+1} \ge 6$. L’hérédité est établie.

Conclusion : Par le principe de récurrence, $u_n \ge 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite $(u_n)$ est minorée par 6.