La continuité uniforme est une propriété plus forte que la continuité simple. Pour une fonction continue, le $\delta$ de la définition peut dépendre à la fois de $\epsilon$ et du point $x_0$ considéré. Pour une fonction uniformément continue, on peut trouver un $\delta$ qui ne dépend que de $\epsilon$ et qui « fonctionne » pour tous les points de l’intervalle.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$f$ est uniformément continue sur $I$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall (x, y) \in I^2, \quad |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon $$
La différence fondamentale est que le $\delta$ est indépendant de $x$ et $y$ ; il est « uniforme » sur tout l’intervalle $I$.
Méthodes pour prouver la continuité uniforme
Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment (intervalle fermé et borné) $[a, b]$ est uniformément continue sur ce segment.
Application : Si on vous demande de prouver la continuité uniforme sur un segment $[a,b]$, il suffit de prouver la continuité simple.
Exemple : La fonction $x \mapsto x^2$ est continue sur $[0, 1]$, donc d’après le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur $[0, 1]$.
Théorème (des accroissements finis) : Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si sa dérivée $f’$ est bornée sur $I$ (c’est-à-dire s’il existe $M > 0$ tel que $|f'(x)| \le M$ pour tout $x \in I$), alors $f$ est uniformément continue sur $I$.
Application : C’est la méthode à privilégier sur les intervalles ouverts ou infinis.
Exemple : Soit $f(x) = \sin(x)$ sur $\mathbb{R}$. On a $f'(x) = \cos(x)$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f'(x)| = |\cos(x)| \le 1$. La dérivée est bornée, donc la fonction sinus est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
Théorème : Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $]a, b[$ (borné) et si $f$ admet des limites finies en $a^+$ et $b^-$, alors $f$ est uniformément continue sur $]a, b[$.
Application : Utile pour des fonctions comme $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ sur $]0, 1]$. La fonction est continue, et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ (finie). Donc $f$ est uniformément continue sur $]0, 1]$.
Comment montrer qu’une fonction N’EST PAS uniformément continue
Pour prouver la non-continuité uniforme, on doit nier la définition. Il faut trouver un $\epsilon > 0$ pour lequel aucun $\delta > 0$ ne fonctionne. La stratégie est souvent de montrer que la pente de la fonction devient « infinie » quelque part.
Exemple : Montrer que $f(x) = x^2$ n’est pas uniformément continue sur $[0, +\infty[$.
- Intuition : La dérivée $f'(x) = 2x$ n’est pas bornée sur $[0, +\infty[$. Cela suggère que la fonction n’est pas uniformément continue.
- Preuve formelle (négation de la définition) :
- Prenons $\epsilon = 1$. Nous devons montrer que pour n’importe quel $\delta > 0$, on peut trouver deux points $x, y$ très proches (à moins de $\delta$) dont les images sont éloignées (d’au moins 1).
- Soit $\delta > 0$. Choisissons $y = x + \frac{\delta}{2}$. On a bien $|x-y| = \frac{\delta}{2} < \delta$.
- Calculons $|f(x) – f(y)| = |x^2 – (x+\frac{\delta}{2})^2| = |x^2 – (x^2 + x\delta + \frac{\delta^2}{4})| = | -x\delta – \frac{\delta^2}{4}| = x\delta + \frac{\delta^2}{4}$.
- On veut que cette quantité soit plus grande que $\epsilon=1$. On cherche donc $x$ tel que $x\delta + \frac{\delta^2}{4} \ge 1$.
- Il suffit de choisir un $x$ assez grand. Prenons par exemple $x = \frac{1}{\delta}$. Alors $x\delta + \frac{\delta^2}{4} = \frac{1}{\delta}\delta + \frac{\delta^2}{4} = 1 + \frac{\delta^2}{4} \ge 1$.
- Conclusion : Pour $\epsilon=1$, et pour n’importe quel $\delta>0$, on a trouvé une paire de points $(x, y) = (\frac{1}{\delta}, \frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2})$ qui respectent $|x-y|<\delta$ mais violent $|f(x)-f(y)| \ge \epsilon$. Donc $f$ n'est pas uniformément continue.