Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$, et $\lambda \in K$ une de ses valeurs propres. On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$, le sous-espace vectoriel de $E$ noté $E_\lambda$ et défini par : $$ E_\lambda = Ker(u – \lambda Id_E) $$
Remarque
- Un vecteur $x$ appartient à $E_\lambda$ si et seulement si $u(x) = \lambda x$.
- L’ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$ est $E_\lambda \setminus \{0_E\}$.
- Tout sous-espace propre $E_\lambda$ est stable par l’endomorphisme $u$.
- Si $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont deux valeurs propres distinctes, alors leurs sous-espaces propres sont en somme directe : $E_{\lambda_1} \cap E_{\lambda_2} = \{0_E\}$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$. Si $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m$ sont des valeurs propres de $u$ deux à deux distinctes, alors la somme de leurs sous-espaces propres est une somme directe : $$ E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2} + \dots + E_{\lambda_m} = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m} $$
Démonstration
On procède par récurrence sur le nombre $m$ de sous-espaces propres. Le cas $m=2$ a été mentionné dans la remarque. Supposons la propriété vraie pour $m-1$ sous-espaces. Soit $x_1 + \dots + x_m = 0$ une décomposition du vecteur nul avec $x_i \in E_{\lambda_i}$. En appliquant $u$, on obtient $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m = 0$. En multipliant la première équation par $\lambda_m$ et en la soustrayant à la seconde, on élimine $x_m$ : $$ (\lambda_1 – \lambda_m)x_1 + \dots + (\lambda_{m-1} – \lambda_m)x_{m-1} = 0 $$ C’est une relation de dépendance linéaire entre des vecteurs de $E_{\lambda_1}, \dots, E_{\lambda_{m-1}}$. Par hypothèse de récurrence, leur somme est directe, donc tous les termes sont nuls. Comme les $\lambda_i$ sont distincts, $\lambda_i – \lambda_m \neq 0$ pour $i < m$. On en déduit que $x_1 = \dots = x_{m-1} = 0$. En reportant dans l'équation initiale, on obtient $x_m=0$. La somme est donc directe.