Gestion des Valeurs Propres Complexes
Nous nous intéressons à la résolution du système différentiel $X'(t) = AX(t)$ où $A$ est une matrice à coefficients réels, mais dont le polynôme caractéristique n’est pas nécessairement scindé sur $\mathbb{R}$.
Un résultat fondamental sur les polynômes à coefficients réels est que si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une racine de multiplicité $m$, alors son conjugué complexe $\bar{\lambda}$ est également une racine de même multiplicité $m$.
Si $X(t)$ est une solution à valeurs complexes du système, alors en conjuguant l’équation $X'(t) = AX(t)$ et en notant que $A$ est réelle ($\bar{A}=A$), on obtient $\overline{X'(t)} = A\overline{X(t)}$, ce qui montre que $\overline{X(t)}$ est aussi une solution. Par conséquent, la partie réelle $Re(X(t)) = \frac{X(t)+\overline{X(t)}}{2}$ et la partie imaginaire $Im(X(t)) = \frac{X(t)-\overline{X(t)}}{2i}$ sont des solutions à valeurs réelles.
Si $\lambda = \alpha + i\beta$ est une valeur propre complexe de $A$ (avec $\beta \neq 0$), la solution complexe associée fait intervenir le terme $e^{\lambda t} = e^{\alpha t}(\cos(\beta t) + i\sin(\beta t))$. Les solutions réelles correspondantes seront donc des combinaisons linéaires de termes en $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ et $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$, multipliés par des vecteurs.
Soit $A$ une matrice réelle. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ ses valeurs propres complexes non réelles (avec $\lambda_i = \alpha_i + i\beta_i$), et $\mu_1, \dots, \mu_q$ ses valeurs propres réelles.
La solution réelle générale du système $X'(t)=AX(t)$ s’écrit comme la somme des contributions de chaque type de valeur propre : $$ X(t) = \sum_{i=1}^p e^{\alpha_i t} \left( \cos(\beta_i t)P_i(t) + \sin(\beta_i t)Q_i(t) \right) + \sum_{j=1}^q e^{\mu_j t} R_j(t) $$ où $P_i(t)$, $Q_i(t)$ et $R_j(t)$ sont des polynômes en $t$ à coefficients vectoriels réels, dont les degrés sont contrôlés par les multiplicités des valeurs propres correspondantes.