Rappelons que deux matrices $A$ et $B$ sont dites équivalentes s’il existe des matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $B=QAP$. Une propriété fondamentale est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
Soit $K$ un corps commutatif. Deux matrices carrées $A$ et $B$ à coefficients dans $K$ sont dites congruentes s’il existe une matrice inversible $P$ telle que : $$ B = {}^t P A P $$
Remarque
- La relation de congruence est fondamentale car elle lie les matrices d’une même forme bilinéaire dans des bases différentes. Si $A$ et $B$ sont les matrices d’une forme $f$ dans deux bases, alors elles sont congruentes.
- Deux matrices congruentes sont nécessairement équivalentes (il suffit de poser $Q={}^tP$). Par conséquent, deux matrices congruentes ont toujours le même rang. Cette invariance justifie la définition suivante.
Soit $f$ une forme bilinéaire sur un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On définit le rang de f, noté $rg(f)$, comme étant le rang de sa matrice représentative $A$ dans n’importe quelle base de $E$. $$ rg(f) = rg(A) $$