Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On peut associer à $f$ une application linéaire $\Phi: E \to E^*$ qui à un vecteur $y \in E$ fait correspondre la forme linéaire $\varphi_y$ définie par $\varphi_y(x) = f(x,y)$.
La forme bilinéaire $f$ est dite non dégénérée si cette application $\Phi$ est injective.
Remarque
D’après la définition, $f$ est non dégénérée si et seulement si le seul vecteur $y$ qui est « orthogonal » à tous les autres vecteurs de l’espace est le vecteur nul. C’est la caractérisation la plus pratique : $$ f \text{ est non dégénérée} \iff (\forall x \in E, f(x,y)=0) \implies y=0 $$
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$, et $A$ la matrice de $f$ dans une base quelconque de $E$. Alors : $$ f \text{ est non dégénérée} \iff \det(A) \neq 0 $$
Démonstration
Considérons l’application linéaire $\Phi: E \to E^*$ définie par $\Phi(y) = \varphi_y$. Soit $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $\beta^*=(e_1^*, \dots, e_n^*)$ sa base duale. Cherchons la matrice $M=(m_{ij})$ de $\Phi$ par rapport à ces bases.
Par définition, la $j$-ème colonne de $M$ est formée des coordonnées de $\Phi(e_j)$ dans la base $\beta^*$. Le coefficient $m_{ij}$ est donc la $i$-ème coordonnée de $\Phi(e_j)$, ce qui signifie $\Phi(e_j) = \sum_k m_{kj} e_k^*$. En évaluant en $e_i$, on obtient : $$ \langle e_i, \Phi(e_j) \rangle = \sum_k m_{kj} \langle e_i, e_k^* \rangle = m_{ij} $$ Or, par définition de $\Phi$, $\langle e_i, \Phi(e_j) \rangle = f(e_i, e_j)$. C’est aussi, par définition, le coefficient $a_{ij}$ de la matrice $A$ de la forme bilinéaire $f$. On a donc $m_{ij}=a_{ij}$, et par conséquent $M=A$.
Ainsi, $f$ est non dégénérée si et seulement si $\Phi$ est injective. Comme $E$ et $E^*$ ont la même dimension finie, $\Phi$ est injective si et seulement si elle est bijective, ce qui équivaut à dire que sa matrice $M=A$ est inversible, c’est-à-dire $\det(A) \neq 0$.