Rappel des Axiomes de la Topologie
Les propriétés fondamentales des ensembles ouverts découlent directement des trois axiomes qui définissent une topologie $\mathcal{T}$ sur un ensemble $X$. Ces axiomes ne sont pas des conséquences, mais bien le point de départ de toute la théorie. Ils constituent la « règle du jeu » que les ouverts doivent respecter.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. La collection $\mathcal{T}$ des ouverts de $X$ possède les propriétés suivantes par définition :
- Stabilité par union quelconque : La réunion d’une famille quelconque (finie ou infinie) d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. $$ \forall (O_i)_{i \in I} \in \mathcal{T}^I, \quad \bigcup_{i \in I} O_i \in \mathcal{T} $$
- Stabilité par intersection finie : L’intersection d’une famille finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. $$ \forall (O_i)_{i \in \{1, \dots, n\}} \in \mathcal{T}^n, \quad \bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal{T} $$
- Éléments triviaux : L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace tout entier $X$ sont des ouverts. $$ \emptyset \in \mathcal{T} \quad \text{et} \quad X \in \mathcal{T} $$
Remarque importante sur l’intersection
L’axiome sur l’intersection est limité au cas fini. Une intersection infinie d’ouverts n’est pas nécessairement un ouvert. C’est une distinction cruciale entre la réunion et l’intersection.
Contre-exemple : Intersection infinie d’ouverts
Considérons la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$. Pour chaque entier $n \ge 1$, l’intervalle $O_n = \left] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[$ est un ensemble ouvert.
Considérons maintenant leur intersection infinie : $$ \bigcap_{n=1}^{+\infty} O_n = \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[ = \{0\} $$ L’ensemble obtenu est le singleton $\{0\}$, qui n’est pas un ouvert dans la topologie usuelle de $\mathbb{R}$. Cet exemple justifie pourquoi la condition de finitude est indispensable pour l’intersection.
Notion duale : les Ensembles Fermés
La connaissance des propriétés des ouverts nous permet de définir par dualité la notion d’ensemble fermé, qui est tout aussi fondamentale.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Un sous-ensemble $F$ de $X$ est dit fermé si son complémentaire dans $X$, noté $X \setminus F$ (ou $F^c$), est un ensemble ouvert. $$ F \text{ est fermé} \iff (X \setminus F) \in \mathcal{T} $$
Par exemple, dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle, un intervalle de la forme $[a, b]$ est un fermé, car son complémentaire $\left] -\infty, a \right[ \cup \left] b, +\infty \right[$ est une réunion de deux ouverts, donc un ouvert.