Topologie sur un Ensemble Fini
L’étude des topologies sur des ensembles finis est un excellent moyen de manipuler les axiomes de définition et de comprendre comment la structure d’un espace peut varier. Contrairement à la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$, les « ouverts » peuvent ici être des ensembles finis, voire des singletons.
Exemple Complet : Topologies sur $X = \{a, b\}$
Recherchons toutes les topologies possibles sur un ensemble à deux éléments. Toute topologie $\mathcal{T}$ doit contenir $\emptyset$ et $X = \{a, b\}$.
1. La topologie grossière
$\mathcal{T}_1 = \{\emptyset, \{a, b\}\}$. C’est la plus petite topologie possible sur $X$. Elle vérifie trivialement les axiomes.
2. Topologies intermédiaires
Si une topologie contient un singleton, par exemple $\{a\}$, elle doit aussi contenir $\emptyset$ et $X$.
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$\mathcal{T}_2 = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$.
– Axiome 1 : $\emptyset, X \in \mathcal{T}_2$ (OK).
– Axiome 2 (Union) : $\{a\} \cup \{a, b\} = \{a, b\} \in \mathcal{T}_2$ (OK).
– Axiome 3 (Intersection) : $\{a\} \cap \{a, b\} = \{a\} \in \mathcal{T}_2$ (OK).
C’est une topologie valide. - De même, $\mathcal{T}_3 = \{\emptyset, \{b\}, \{a, b\}\}$ est une topologie valide.
Ces deux topologies sont isomorphes à la topologie de Sierpiński.
3. La topologie discrète
$\mathcal{T}_4 = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} = \mathcal{P}(X)$. C’est la plus grande topologie possible sur $X$, où toutes les parties sont des ouverts.
- Axiome 1 : OK.
- Axiome 2 : L’union de n’importe quelles parties de $X$ est une partie de $X$, donc elle appartient à $\mathcal{T}_4$. (OK)
- Axiome 3 : L’intersection de n’importe quelles parties de $X$ est une partie de $X$, donc elle appartient à $\mathcal{T}_4$. (OK)
Au total, il y a 4 topologies possibles sur un ensemble à 2 éléments.
Points Clés à Retenir
- Sur tout ensemble fini, les topologies grossière et discrète existent toujours.
- Un singleton (un ensemble avec un seul élément) peut être un ouvert, ce qui est impossible dans la topologie usuelle de $\mathbb{R}$.
- Le nombre de topologies possibles augmente très rapidement avec la taille de l’ensemble. Pour $X = \{a, b, c\}$, il existe déjà 29 topologies distinctes.
- Les ensembles finis sont un terrain de jeu idéal pour tester sa compréhension des axiomes et des définitions de base (fermé, voisinage, continuité…).