Base de la Topologie Usuelle sur $\mathbb{R}$
La topologie la plus couramment utilisée sur l’ensemble des nombres réels, appelée topologie usuelle, est définie à l’aide d’une base simple et intuitive : celle des intervalles ouverts. C’est le point de départ de toute l’analyse réelle.
La topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ est la topologie engendrée par la base $\mathcal{B}$ constituée de tous les intervalles ouverts de la forme $]a, b[$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels avec $a < b$. $$ \mathcal{B} = \{ ]a, b[ \mid a, b \in \mathbb{R}, a < b \} $$
Un ensemble $O \subseteq \mathbb{R}$ est donc un ouvert de la topologie usuelle s’il peut s’écrire comme une union (finie ou infinie) d’intervalles ouverts.
Vérifions que la famille $\mathcal{B} = \{]a, b[\}$ est bien une base de topologie :
- Recouvrement : Tout réel $x \in \mathbb{R}$ appartient à un intervalle ouvert, par exemple $]x-1, x+1[$. Donc, l’union de tous les éléments de $\mathcal{B}$ est bien égale à $\mathbb{R}$.
- Stabilité par intersection : Soient deux intervalles ouverts $B_1 = ]a, b[$ et $B_2 = ]c, d[$. Leur intersection $B_1 \cap B_2$ est soit l’ensemble vide, soit un autre intervalle ouvert $]\max(a,c), \min(b,d)[$. Dans les deux cas, l’intersection est une union d’éléments de la base (soit une union vide, soit un seul élément de la base). La condition est donc vérifiée.
Exemple d’Ouvert
L’ensemble $O = ]-1, 1[ \cup ]3, 5[$ est un ouvert de la topologie usuelle. Il est directement écrit comme une union de deux éléments de la base $\mathcal{B}$.
De manière moins triviale, tout intervalle ouvert est un ouvert. Par exemple, $]0, +\infty[$ est un ouvert car il peut s’écrire comme une union d’éléments de la base : $$ ]0, +\infty[ = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]0, n[ $$ Chaque $]0, n[$ est un élément de la base $\mathcal{B}$, donc leur union est bien un ouvert de la topologie engendrée.