Points d’Accumulation et Points Isolés
Pour analyser la structure d’une partie $A$ d’un espace topologique, il est utile de distinguer deux types de points : ceux qui peuvent être « approchés » par d’autres points de $A$ (points d’accumulation) et ceux qui sont « seuls » (points isolés).
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique, $A \subseteq X$ une partie, et $x \in X$ un point.
On dit que $x$ est un point d’accumulation de $A$ si tout voisinage de $x$ contient au moins un point de $A$ distinct de $x$. $$ \forall V \in \mathcal{V}(x), \quad (V \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset $$ L’ensemble des points d’accumulation de $A$ est appelé l’ensemble dérivé de $A$, noté $A’$.
Soit $A \subseteq X$ une partie. Un point $a \in A$ est dit isolé dans $A$ s’il existe un voisinage $V$ de $a$ dont l’intersection avec $A$ est réduite au seul point $a$. $$ \exists V \in \mathcal{V}(a), \quad V \cap A = \{a\} $$
Ces notions sont intimement liées à l’adhérence d’un ensemble.
- Un point $x$ est dans l’adhérence $\bar{A}$ si et seulement si il est soit dans $A$, soit un point d’accumulation de $A$.
- On a la relation fondamentale : $\bar{A} = A \cup A’$. L’adhérence est donc l’union de l’ensemble et de ses points d’accumulation.
- Un point de $A$ est soit un point d’accumulation de $A$, soit un point isolé de $A$.
- Un ensemble $A$ est fermé si et seulement s’il contient tous ses points d’accumulation ($A’ \subseteq A$).
Exemples Concrets dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
- Pour un intervalle : Si $A = ]0, 1]$, l’ensemble dérivé est $A’ = [0, 1]$. Tout point de $[0, 1]$ peut être approché par des points de $A$. L’ensemble $A$ n’a aucun point isolé.
- Pour l’ensemble $\mathbb{Q}$ : L’ensemble dérivé $\mathbb{Q}’$ est $\mathbb{R}$ tout entier, car tout réel peut être approché par des rationnels. $\mathbb{Q}$ n’a aucun point isolé.
- Pour un ensemble discret : Soit $A = \{1/n \mid n \in \mathbb{N}^*\} \cup \{0\}$. L’ensemble dérivé est $A’=\{0\}$, car $0$ est le seul point qui peut être approché par d’autres points de $A$. Tous les autres points de la forme $1/n$ sont des points isolés.
- Pour l’ensemble $\mathbb{Z}$ : L’ensemble dérivé $\mathbb{Z}’$ est vide ($\emptyset$), car on ne peut approcher aucun entier par d’autres entiers. Chaque point de $\mathbb{Z}$ est un point isolé.