Caractérisation Séquentielle de l’Adhérence
Dans de nombreux cas pratiques, notamment dans les espaces métriques comme $\mathbb{R}^n$, il est plus intuitif de manipuler des suites de points que des voisinages ou des ensembles ouverts. La caractérisation séquentielle nous donne un outil puissant pour décrire l’adhérence en utilisant la notion de convergence de suites.
Soit $(X, d)$ un espace métrique et soit $A$ une partie de $X$.
Un point $x \in X$ appartient à l’adhérence $\bar{A}$ de $A$ si et seulement s’il existe une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ qui converge vers $x$. $$ x \in \bar{A} \iff \exists (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A, \quad \lim_{n \to +\infty} a_n = x $$
Remarques importantes
- Cette caractérisation est l’une des plus utilisées en analyse, car elle ramène un concept topologique (l’adhérence) à un concept analytique (la limite d’une suite).
- Attention : Cette équivalence est garantie dans les espaces métriques et plus généralement dans les espaces « à base dénombrable de voisinages », mais elle n’est pas vraie dans un espace topologique quelconque. Dans le cas général, il faut utiliser des notions plus avancées comme les « suites généralisées » ou les « filtres ».
Exemples Concrets dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle (qui est métrique).
- Pour l’intervalle $A = ]0, 1[$ : Le point $0$ appartient à $\bar{A}$. On peut le prouver en construisant la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $a_n = 1/n$. Tous les termes de cette suite sont dans $A$, et elle converge bien vers $0$. De même, la suite $b_n = 1 – 1/(n+1)$ est dans $A$ et converge vers $1$.
- Pour l’ensemble des rationnels $A = \mathbb{Q}$ : Prenons un nombre irrationnel, par exemple $x = \sqrt{2}$. On sait que $\sqrt{2} \in \bar{\mathbb{Q}}$. La caractérisation séquentielle nous dit qu’il doit exister une suite de rationnels qui converge vers $\sqrt{2}$. C’est le cas, par exemple, de la suite définie par les approximations décimales de $\sqrt{2}$ : $(1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots)$. Chaque terme est rationnel, et la suite converge vers $\sqrt{2}$.
- Pour l’ensemble des entiers $A = \mathbb{Z}$ : L’adhérence de $\mathbb{Z}$ est $\mathbb{Z}$ lui-même. Si une suite d’entiers $(a_n)$ converge vers une limite $x$, alors cette suite doit être stationnaire à partir d’un certain rang (c’est-à-dire $a_n$ est constant pour $n$ assez grand), et donc la limite $x$ doit être un entier. Il est impossible de « créer » un point non entier comme limite d’une suite d’entiers.