Exemple Fondamental : La Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$
L’exemple le plus emblématique de la notion de densité est celui de l’ensemble des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) au sein de l’ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$). Cet exemple illustre parfaitement l’idée qu’on peut « approcher » n’importe quel nombre réel par un nombre rationnel avec une précision aussi grande que souhaitée.
L’ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels est dense dans l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. $$ \bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} $$
Démonstration
Pour démontrer ce théorème, nous utilisons la caractérisation de la densité par les ouverts. Il suffit de montrer que tout ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient au moins un nombre rationnel. Or, tout ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient un intervalle ouvert de la forme $]a, b[$ avec $a < b$.
Notre objectif est donc de prouver que pour tout couple de réels $(a, b)$ tel que $a < b$, il existe un rationnel $q$ tel que $a < q < b$.
- Utilisation de la propriété d’Archimède : Puisque $b – a > 0$, la propriété d’Archimède garantit l’existence d’un entier naturel non nul $n$ tel que : $$ n(b – a) > 1 $$ Cela signifie que la longueur de l’intervalle $]na, nb[$ est strictement supérieure à 1.
- Existence d’un entier : Un intervalle de longueur supérieure à 1 contient nécessairement au moins un entier. Il existe donc un entier relatif $m$ tel que : $$ na < m < nb $$
- Construction du rationnel : En divisant l’inégalité précédente par $n$ (qui est strictement positif), on obtient : $$ a < \frac{m}{n} < b $$ Nous avons trouvé un nombre $q = \frac{m}{n}$, qui est par définition un nombre rationnel, compris strictement entre $a$ et $b$.
Conclusion : Tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient au moins un élément de $\mathbb{Q}$. Par conséquent, $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.