Soit $E$ un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire $f$. Pour simplifier les écritures, nous adoptons les notations standards suivantes :
- Le produit scalaire $f(x,y)$ est noté $\langle x, y \rangle$.
- La valeur $f(x,x)$, qui est toujours positive, est notée $\|x\|^2$. Le nombre $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ est appelé la norme euclidienne du vecteur $x$.
Ces notations permettent d’établir plusieurs identités remarquables, conséquences directes de la bilinéarité et de la symétrie du produit scalaire :
- $\forall x, y \in E, \quad \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$
- $\forall x, y \in E, \quad \|x-y\|^2 = \|x\|^2 – 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2$
- Identité du parallélogramme : En additionnant les deux identités précédentes, on obtient : $$ \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) $$
- Identité de polarisation : Elle permet d’exprimer le produit scalaire uniquement en termes de la norme : $$ \langle x, y \rangle = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2 – \|x\|^2 – \|y\|^2) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2) $$
Remarque
Un cas particulier important est celui de deux vecteurs orthogonaux. Si $\langle x, y \rangle = 0$, alors la première identité se simplifie pour donner le théorème de Pythagore : $$ \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 $$
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, muni d’une base orthonormale $(e_1, e_2, \dots, e_n)$. Les calculs de coordonnées, de produits scalaires et de normes sont grandement simplifiés :
- Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur $x$ sont les produits scalaires de $x$ avec les vecteurs de base. $$ \forall x \in E, \quad x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i $$
- Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs coordonnées respectives. $$ \forall x, y \in E, \quad \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle y, e_i \rangle $$
- Norme d’un vecteur (Théorème de Pythagore généralisé) : Le carré de la norme d’un vecteur est la somme des carrés de ses coordonnées. $$ \forall x \in E, \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n (\langle x, e_i \rangle)^2 $$
- Matrice d’un endomorphisme : Si $u$ est un endomorphisme de $E$ et $A=(a_{ij})$ sa matrice dans la base orthonormale, alors le coefficient $a_{ij}$ est donné par le produit scalaire de l’image de $e_j$ avec $e_i$. $$ a_{ij} = \langle u(e_j), e_i \rangle $$
Démonstration
1. Soit la décomposition de $x$ dans la base : $x = \sum_{k=1}^n x_k e_k$. Pour un indice $i$ fixé, calculons le produit scalaire de $x$ avec $e_i$ : $$ \langle x, e_i \rangle = \left\langle \sum_{k=1}^n x_k e_k, e_i \right\rangle = \sum_{k=1}^n x_k \langle e_k, e_i \rangle $$ Comme la base est orthonormale, $\langle e_k, e_i \rangle = \delta_{ki}$ (symbole de Kronecker). La somme se réduit au seul terme où $k=i$, ce qui donne $\langle x, e_i \rangle = x_i$.
2. et 3. Ces deux points sont des conséquences directes du premier. En utilisant la décomposition des coordonnées, le produit scalaire devient $\langle \sum x_i e_i, \sum y_j e_j \rangle = \sum_i \sum_j x_i y_j \langle e_i, e_j \rangle = \sum_i x_i y_i$. La formule pour la norme s’obtient en posant $y=x$.
4. Par définition, la $j$-ème colonne de la matrice $A$ est formée des coordonnées de $u(e_j)$ dans la base $(e_i)$. On a donc $u(e_j) = \sum_{k=1}^n a_{kj} e_k$. En calculant le produit scalaire avec $e_i$, on obtient : $$ \langle u(e_j), e_i \rangle = \left\langle \sum_{k=1}^n a_{kj} e_k, e_i \right\rangle = \sum_{k=1}^n a_{kj} \langle e_k, e_i \rangle = a_{ij} $$ car $\langle e_k, e_i \rangle = \delta_{ki}$.