Définition d’un Homéomorphisme
En topologie, on ne s’intéresse pas aux notions de distance ou d’angle, mais plutôt aux propriétés qui sont conservées par « déformation continue ». L’homéomorphisme est la notion qui formalise cette idée d’équivalence topologique. Deux espaces sont homéomorphes s’ils sont, d’un point de vue topologique, « identiques ». C’est pourquoi on dit souvent qu’un topologue ne fait pas la différence entre une tasse à café et un donut (tore).
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques.
Une fonction $f: X \to Y$ est un homéomorphisme si elle vérifie les trois conditions suivantes :
- $f$ est bijective (c’est-à-dire injective et surjective).
- $f$ est continue.
- Sa fonction réciproque $f^{-1}: Y \to X$ est également continue.
S’il existe un homéomorphisme entre $X$ et $Y$, on dit que les deux espaces sont homéomorphes.
Remarque importante
La troisième condition (continuité de l’application réciproque) est cruciale. Une bijection continue n’est pas forcément un homéomorphisme. Cette condition garantit que la « déformation » peut se faire dans les deux sens sans « déchirure ».
Une fonction $f: X \to Y$ est un homéomorphisme si et seulement si :
- $f$ est bijective.
- $f$ est une application ouverte, c’est-à-dire que l’image de tout ouvert de $X$ est un ouvert de $Y$.
- $f$ est continue.
Exemples et Contre-Exemple
-
Homéomorphisme simple : Les intervalles ouverts $]0, 1[$ et $]a, b[$ (avec $a
- Un cercle est homéomorphe à un carré. Intuitivement, on peut déformer continûment l’un pour obtenir l’autre sans le déchirer ni recoller des points.
- Contre-exemple : Soit $f: [0, 2\pi[ \to S^1$ (le cercle unité dans $\mathbb{C}$) définie par $f(t) = e^{it}$.
- $f$ est bien bijective et continue.
- Cependant, son inverse $f^{-1}$ n’est pas continue. L’image de l’ouvert $S^1 \setminus \{1\}$ par $f^{-1}$ est $]0, 2\pi[$, qui n’est pas un ouvert de $[0, 2\pi[$. Donc $f$ n’est pas un homéomorphisme.