Exemples Fondamentaux d’Homéomorphismes
Pour bien comprendre la notion d’homéomorphisme, il est essentiel d’étudier des exemples concrets. Ces exemples montrent comment des objets géométriques a priori différents peuvent être considérés comme « les mêmes » du point de vue de la topologie.
Exemple 1 : Deux intervalles ouverts quelconques
Tous les intervalles ouverts bornés de $\mathbb{R}$ sont homéomorphes.
Soient $a < b$ and $c < d$ des nombres réels. Les intervalles $]a, b[$ et $]c, d[$ sont homéomorphes.
L’application $f: ]a, b[ \to ]c, d[$ définie par : $$ f(x) = c + \frac{d-c}{b-a}(x-a) $$ est un homéomorphisme. C’est une fonction affine bijective, continue, et dont la réciproque (qui est aussi une fonction affine) est continue.
Exemple 2 : Un intervalle ouvert et $\mathbb{R}$
De manière peut-être moins intuitive, un intervalle borné est topologiquement équivalent à la droite réelle tout entière.
L’intervalle $]-1, 1[$ et la droite réelle $\mathbb{R}$ sont homéomorphes.
Un homéomorphisme possible est donné par la fonction $f: ]-1, 1[ \to \mathbb{R}$ : $$ f(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) $$ Cette fonction est bijective, continue, et sa réciproque $f^{-1}(y) = \frac{2}{\pi}\arctan(y)$ est également continue.
Exemple 3 : La sphère privée d’un point et le plan
Cet exemple classique est fondamental en géométrie et en analyse complexe. Il s’agit de la projection stéréographique.
Considérons la sphère unité $S^2$ dans $\mathbb{R}^3$, privée de son pôle Nord $N=(0,0,1)$. Cet ensemble, $S^2 \setminus \{N\}$, est homéomorphe au plan $\mathbb{R}^2$. L’homéomorphisme consiste à projeter chaque point $P$ de la sphère (différent de $N$) sur le plan $z=0$ en traçant la droite qui passe par $N$ et $P$.
Cela montre qu’une surface bornée (mais ouverte) peut être topologiquement équivalente à une surface non bornée.