Propriétés Topologiques Invariantes
Si deux espaces topologiques sont homéomorphes, ils partagent les mêmes « propriétés topologiques ». Ces propriétés, qui sont conservées par homéomorphisme, sont appelées des invariants topologiques. Elles sont extrêmement utiles pour prouver que deux espaces ne sont PAS homéomorphes : il suffit de trouver une propriété topologique que l’un possède et l’autre non.
Une propriété $\mathcal{P}$ est un invariant topologique si, pour toute paire d’espaces topologiques homéomorphes $(X, Y)$, on a :
Si $X$ possède la propriété $\mathcal{P}$, alors $Y$ possède également la propriété $\mathcal{P}$.
Exemples d’Invariants Topologiques
Voici une liste non exhaustive de certaines des propriétés topologiques les plus importantes :
- La compacité : L’image d’un espace compact par une application continue est un espace compact. Puisqu’un homéomorphisme est continu, si $X$ est compact et homéomorphe à $Y$, alors $Y$ doit être compact.
- La connexité : L’image d’un espace connexe par une application continue est un espace connexe. La connexité est donc un invariant topologique.
- La séparation (être de Hausdorff) : Si $X$ est un espace séparé (de Hausdorff) et $f: X \to Y$ est un homéomorphisme, alors $Y$ est également séparé.
- Le nombre de composantes connexes : Cette propriété est conservée par homéomorphisme.
- Le caractère métrisable : Un espace est dit métrisable si sa topologie peut être induite par une distance. Cette propriété est un invariant topologique.
Utilisation des Invariants pour Distinguer des Espaces
La principale application des invariants est la preuve de non-homéomorphisme.
Pour montrer que deux espaces $X$ et $Y$ ne sont pas homéomorphes, il suffit de trouver un invariant topologique $\mathcal{P}$ tel que $X$ possède la propriété $\mathcal{P}$ et $Y$ ne la possède pas (ou vice-versa).
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Exemple 1 : L’intervalle fermé $[0, 1]$ n’est pas homéomorphe à l’intervalle ouvert $]0, 1[$.
Preuve : L’espace $[0, 1]$ est compact (c’est un fermé borné de $\mathbb{R}$). L’espace $]0, 1[$ n’est pas compact. La compacité étant un invariant topologique, les deux espaces ne peuvent pas être homéomorphes. -
Exemple 2 : La droite réelle $\mathbb{R}$ n’est pas homéomorphe au plan $\mathbb{R}^2$.
Preuve : Si l’on retire un point de $\mathbb{R}$, l’espace restant n’est plus connexe (il est formé de deux intervalles disjoints). Si l’on retire un point de $\mathbb{R}^2$, l’espace restant est toujours connexe par arcs. Si un homéomorphisme existait entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$, il induirait un homéomorphisme entre $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$ et $\mathbb{R}^2 \setminus \{f(x_0)\}$. Or, l’un est non connexe et l’autre est connexe. C’est une contradiction.