Définition d’un Plongement Topologique
Un plongement topologique est une manière de voir un espace topologique comme un sous-espace d’un autre. Il s’agit d’une fonction qui non seulement préserve la structure topologique de l’espace de départ, mais qui le « place » de manière cohérente à l’intérieur de l’espace d’arrivée, sans « écraser » ou « recoller » des points.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques.
Une application $f: X \to Y$ est un plongement topologique si elle est un homéomorphisme sur son image $f(X)$, où $f(X)$ est muni de la topologie induite par $Y$.
Une application $f: X \to Y$ est un plongement topologique si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- $f$ est injective.
- $f$ est continue.
- L’application réciproque $f^{-1}: f(X) \to X$ est continue.
Autrement dit, un plongement est une injection continue qui est également une application ouverte (ou fermée) sur son image.
Remarque importante
Attention, une application injective et continue n’est pas forcément un plongement ! La troisième condition (continuité de la réciproque) est essentielle. Elle garantit que la topologie de l’image $f(X)$ (induite par $Y$) est la même que la topologie de départ de $X$.
Exemples et Contre-Exemples
- Un plongement : L’application $f: ]0, 1[ \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x$ est un plongement. Elle est injective, continue, et son image $]0, 1[$ a bien la même topologie que l’espace de départ.
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Un contre-exemple classique : Soit $f: [0, 2\pi[ \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(t) = (\cos(t), \sin(t))$.
- Cette application est injective et continue.
- Son image est le cercle unité $S^1$.
- Cependant, $f$ n’est pas un plongement. La réciproque $f^{-1}$ n’est pas continue. Par exemple, un petit voisinage du point $(1,0)$ sur le cercle a pour image réciproque par $f$ deux petits intervalles disjoints autour de $0$ et $2\pi$ dans $[0, 2\pi[$, ce qui n’est pas un ouvert. L’application « recolle » les extrémités de l’intervalle de départ.