Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ muni d’une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$. Soit $(v_1, \dots, v_p)$ une famille de vecteurs de $E$, et $A$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont les coordonnées de ces vecteurs dans la base $(e_i)$. Alors, la matrice de Gram de la famille $(v_j)$, dont le coefficient $(i,j)$ est $\langle v_i, v_j \rangle$, est égale à ${}^tAA$.
Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases orthonormales d’un espace euclidien $E$. La matrice de passage $P$ de $\beta$ à $\gamma$ est une matrice orthogonale, c’est-à-dire qu’elle vérifie : $$ {}^tP P = I_n $$
Démonstration
Soit $\beta=(e_i)$ et $\gamma=(v_j)$. La matrice de passage $P$ a pour colonnes les coordonnées des $v_j$ dans la base $\beta$. D’après le lemme précédent, la matrice ${}^tPP$ a pour coefficient $(i,j)$ le produit scalaire $\langle v_i, v_j \rangle$. Puisque $\gamma$ est une base orthonormale, $\langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij}$. Par conséquent, ${}^tPP$ est la matrice identité.
Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite orthogonale si ${}^tAA = I_n$.
Remarque
- Si $A$ est orthogonale, elle est inversible et son inverse est sa transposée : $A^{-1} = {}^tA$.
- Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut toujours $\pm 1$. En effet, $\det({}^tAA) = \det({}^tA)\det(A) = (\det(A))^2 = \det(I_n) = 1$.
- Par conséquent, le déterminant d’une base orthonormale par rapport à une autre base orthonormale est toujours 1 ou -1.
Fixons une base orthonormale $\beta$ de $E$. La relation $\mathcal{R}$ définie sur l’ensemble des bases orthonormales de $E$ par $\gamma \mathcal{R} \gamma’ \iff \det_\beta(\gamma) = \det_\beta(\gamma’)$ est une relation d’équivalence qui partitionne l’ensemble des bases orthonormales en deux classes d’équivalence.
i) Un espace euclidien orienté est un espace euclidien dont on a choisi l’une des deux classes d’équivalence de bases orthonormales. Cette classe est appelée l’ensemble des bases directes. L’autre classe est celle des bases indirectes.
ii) Choisir une orientation revient à fixer une base orthonormale de référence. Toute autre base orthonormale est dite directe si son déterminant par rapport à la base de référence est 1, et indirecte si c’est -1.
Remarque
Dans un espace euclidien orienté, le déterminant d’un système de $n$ vecteurs a une valeur intrinsèque : il ne dépend pas de la base orthonormale directe choisie pour le calcul. En effet, si $\beta$ et $\gamma$ sont deux bases directes, la matrice de passage $P$ de $\beta$ à $\gamma$ est orthogonale de déterminant 1, et on a $\det_\gamma(S) = \det(P^{-1}) \det_\beta(S) = \det_\beta(S)$.