Continuité et Caractérisation par les Fermés
La définition de la continuité repose sur les ensembles ouverts. Cependant, en topologie, les ouverts et les fermés sont deux notions duales, liées par le passage au complémentaire. Il est donc naturel de se demander s’il existe une caractérisation équivalente de la continuité utilisant les ensembles fermés. La réponse est oui, et cette approche est souvent très utile en pratique.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques, et $f: X \to Y$ une application.
La fonction $f$ est continue sur $X$ si et seulement si l’image réciproque de tout ensemble fermé de $Y$ est un ensemble fermé de $X$.
$$ f \text{ est continue} \iff \forall F \text{ fermé de } Y, f^{-1}(F) \text{ est un fermé de } X $$
Démonstration
La preuve repose sur la relation entre un ensemble, son complémentaire, et l’image réciproque : pour toute partie $A \subseteq Y$, on a $f^{-1}(A^c) = (f^{-1}(A))^c$.
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Sens direct ($\Rightarrow$) : On suppose que $f$ est continue. Soit $F$ un fermé de $Y$.
- Par définition, son complémentaire $F^c$ est un ouvert de $Y$.
- Puisque $f$ est continue, l’image réciproque $f^{-1}(F^c)$ est un ouvert de $X$.
- Or, $f^{-1}(F^c) = (f^{-1}(F))^c$. Donc, $(f^{-1}(F))^c$ est un ouvert de $X$.
- Par conséquent, son complémentaire $f^{-1}(F)$ est un fermé de $X$.
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Sens réciproque ($\Leftarrow$) : On suppose que l’image réciproque de tout fermé est un fermé. Soit $O$ un ouvert de $Y$.
- Par définition, son complémentaire $O^c$ est un fermé de $Y$.
- Par hypothèse, l’image réciproque $f^{-1}(O^c)$ est un fermé de $X$.
- Or, $f^{-1}(O^c) = (f^{-1}(O))^c$. Donc, $(f^{-1}(O))^c$ est un fermé de $X$.
- Par conséquent, son complémentaire $f^{-1}(O)$ est un ouvert de $X$.
Application Pratique
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction. Pour montrer qu’elle est continue, on peut montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$, les ensembles $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \le a\}$ et $\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \ge a\}$ sont fermés.
En effet, ces ensembles sont les images réciproques des intervalles fermés $]-\infty, a]$ et $[a, +\infty[$, qui sont des fermés de $\mathbb{R}$. Si on prouve cela, on peut en déduire que l’image réciproque de tout fermé est fermée, et donc que $f$ est continue.