Importance de la Propriété de Hausdorff
La propriété de Hausdorff (ou de séparation) n’est pas juste un détail technique ; elle est au cœur de l’analyse moderne. Elle garantit que l’espace a un comportement « raisonnable », similaire à celui des espaces métriques que nous connaissons bien. Sans cette propriété, de nombreux théorèmes fondamentaux de l’analyse cesseraient d’être valides.
Dans un espace topologique séparé, toute suite convergente admet une limite unique.
C’est sans doute la conséquence la plus importante. Elle assure que la notion de limite est bien définie. Dans un espace non séparé (comme un ensemble avec la topologie grossière), une suite peut converger vers tous les points de l’espace simultanément, ce qui vide le concept de son sens.
Dans un espace topologique séparé, tout singleton $\{x\}$ est un ensemble fermé.
Cette propriété, simple en apparence, est extrêmement utile. Elle signifie que le complémentaire d’un point est un ouvert. Cela permet de construire facilement des fonctions continues et de simplifier de nombreuses démonstrations, en particulier celles liées à la compacité et à la connexité.
Dans un espace topologique séparé, toute partie compacte est nécessairement fermée.
Cette implication est fausse dans le cas général. La propriété de Hausdorff est la condition minimale qui assure ce lien fondamental entre compacité et fermeture, un lien qui est au cœur du théorème de Heine-Borel dans $\mathbb{R}^n$.
Conclusion
En résumé, la propriété de Hausdorff est essentielle car elle confère à un espace topologique des propriétés « analytiques » de base. Elle garantit que les points sont bien distincts du point de vue topologique, ce qui permet de généraliser sereinement les concepts de limite, de continuité et de compacité que l’on a d’abord étudiés dans les espaces métriques. C’est pourquoi la grande majorité des études en analyse se placent dans le cadre des espaces séparés.