Critères pour la Séparation (Hausdorff)
Vérifier la définition de la séparation pour chaque paire de points peut être fastidieux. Heureusement, il existe plusieurs critères équivalents ou des conditions suffisantes qui permettent de prouver qu’un espace est de Hausdorff plus efficacement.
Un espace topologique $X$ est séparé si et seulement si la diagonale $\Delta = \{(x, x) \mid x \in X\}$ est une partie fermée de l’espace produit $X \times X$.
C’est un critère très puissant et élégant. Il relie une propriété de séparation (portant sur les points) à une propriété de fermeture (portant sur un ensemble). Pour prouver qu’un espace est séparé, il suffit de montrer que le complémentaire de la diagonale, $\Delta^c = \{(x, y) \mid x \neq y\}$, est un ouvert.
Tout espace métrique $(X, d)$ muni de la topologie induite par la distance $d$ est un espace séparé.
C’est une condition suffisante très large. Puisque de nombreux espaces en analyse sont des espaces métriques ($\mathbb{R}, \mathbb{R}^n, \mathbb{C}$, espaces de fonctions, etc.), ils sont automatiquement de Hausdorff.
Démonstration rapide
Soient $x, y \in X$ avec $x \neq y$. Posons $r = d(x, y) > 0$. Les boules ouvertes $B(x, r/2)$ et $B(y, r/2)$ sont des voisinages ouverts respectifs de $x$ et $y$. Par l’inégalité triangulaire, on peut montrer que ces deux boules sont disjointes.
Un espace topologique $X$ est séparé si et seulement si tout filtre (ou toute base de filtre) sur $X$ admet au plus une limite.
Ce critère est une généralisation de la propriété d’unicité de la limite pour les suites. Il est plus abstrait mais fondamental en topologie générale avancée.
Remarque sur les axiomes de séparation
L’axiome de Hausdorff (T2) se situe dans une hiérarchie. Un axiome plus faible est l’axiome T1, qui stipule que pour deux points distincts $x, y$, il existe un voisinage de $x$ ne contenant pas $y$. Une conséquence de T1 est que tous les singletons $\{x\}$ sont fermés.
Il est bon de noter que : Espace Séparé (T2) $\implies$ Espace T1. La réciproque est fausse. Un espace est T2 si et seulement s’il est T1 et satisfait une autre condition de régularité.