Exemples d’Espaces Non Séparés
Bien que la plupart des espaces étudiés en analyse soient séparés, l’étude de quelques contre-exemples est très instructive. Elle permet de mieux saisir la portée et l’importance de la propriété de Hausdorff en montrant les situations « pathologiques » qu’elle permet d’éviter.
Exemple 1 : La Topologie Grossière
C’est l’exemple le plus simple et le plus extrême d’espace non séparé.
Soit un ensemble $X$ ayant au moins deux points (par exemple $X = \{a, b\}$). On le munit de la topologie grossière $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$. Dans cette topologie, les seuls ouverts sont l’ensemble vide et l’espace tout entier.
Pourquoi n’est-il pas séparé ?
- Soient deux points distincts $a, b \in X$.
- Le seul voisinage ouvert de $a$ est $X$.
- Le seul voisinage ouvert de $b$ est aussi $X$.
Il est donc impossible de trouver deux voisinages disjoints pour $a$ et $b$, car leur intersection sera toujours $X \cap X = X \neq \emptyset$.
Exemple 2 : La Topologie Cofinie sur un Ensemble Infini
Cet exemple est plus subtil et intéressant. Soit $X$ un ensemble infini. La topologie cofinie sur $X$ est définie par : $$ \mathcal{T}_{cofinie} = \{ O \subseteq X \mid O = \emptyset \text{ ou } O^c \text{ est fini} \} $$ Les ouverts non vides sont donc les ensembles dont le complémentaire est fini.
Pourquoi n’est-il pas séparé ?
La raison fondamentale est que deux ouverts non vides ne peuvent jamais être disjoints dans cette topologie.
- Soient $O_1$ et $O_2$ deux ouverts non vides de $X$.
- Par définition, leurs complémentaires $O_1^c$ et $O_2^c$ sont des ensembles finis.
- L’union de deux ensembles finis est un ensemble fini, donc $O_1^c \cup O_2^c$ est fini.
- En utilisant les lois de De Morgan, on a : $(O_1 \cap O_2)^c = O_1^c \cup O_2^c$.
- Donc, le complémentaire de l’intersection $(O_1 \cap O_2)$ est fini.
- Puisque $X$ est infini, un ensemble dont le complémentaire est fini ne peut pas être vide. Par conséquent, $O_1 \cap O_2 \neq \emptyset$.
Conclusion : Il est impossible de trouver deux voisinages ouverts disjoints pour deux points distincts. L’espace n’est donc pas de Hausdorff.