Soit $E$ un espace euclidien, $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormale de $E$. L’application $f: E \times E \to \mathbb{R}$ définie par : $$ \forall (x,y) \in E \times E, \quad f(x,y) = \langle u(x), y \rangle $$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E$. De plus, la matrice de $f$ par rapport à la base $\beta$ est identique à la matrice de $u$ par rapport à cette même base.
Démonstration
La bilinéarité de $f$ découle de la linéarité de $u$ et de la bilinéarité du produit scalaire. Pour la symétrie de $f$, on utilise le fait que $u$ est autoadjoint ($u^*=u$) : $$ f(x,y) = \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle = \langle x, u(y) \rangle = f(y,x) $$ Soient $A=(a_{ij})$ la matrice de $u$ et $M=(m_{ij})$ la matrice de $f$ dans la base orthonormale $\beta$. On a $a_{ij} = \langle u(e_j), e_i \rangle$ et $m_{ij} = f(e_i, e_j) = \langle u(e_i), e_j \rangle$. Comme $u$ est symétrique, $\langle u(e_i), e_j \rangle = \langle e_i, u(e_j) \rangle$. De plus, dans une base orthonormale, $\langle e_i, u(e_j) \rangle$ est le coefficient $(j,i)$ de la matrice de $u$, donc $a_{ji}$. On a donc $m_{ij} = a_{ji}$. Mais comme $A$ est symétrique, $a_{ji}=a_{ij}$, donc $M=A$.
Soit $u$ un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien $E$, et $f$ la forme bilinéaire associée par $f(x,y) = \langle u(x), y \rangle$.
- $u$ est dit positif si la forme $f$ est positive.
- $u$ est dit défini positif si la forme $f$ est définie positive.
Remarque
D’après la définition, un endomorphisme symétrique $u$ est :
- Positif si et seulement si $\forall x \in E, \langle u(x), x \rangle \ge 0$.
- Défini positif si et seulement si $\forall x \in E, x \neq 0 \implies \langle u(x), x \rangle > 0$.
Pour toute forme bilinéaire symétrique $f$ sur un espace euclidien $E$, il existe un unique endomorphisme symétrique $u$ tel que : $$ \forall (x,y) \in E \times E, \quad f(x,y) = \langle u(x), y \rangle $$
Remarque
Ce théorème établit une correspondance bijective entre les formes bilinéaires symétriques et les endomorphismes symétriques. Par conséquent, pour toute forme quadratique $q$, il existe un unique endomorphisme symétrique $u$ tel que $q(x) = \langle u(x), x \rangle$.
Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique sur un espace euclidien $E$. Il existe une base de $E$ qui est à la fois orthonormale (pour le produit scalaire de $E$) et orthogonale (pour la forme $f$).
Démonstration
D’après le théorème précédent, il existe un unique endomorphisme symétrique $u$ tel que $f(x,y) = \langle u(x), y \rangle$. Puisque $u$ est symétrique, le théorème spectral garantit l’existence d’une base orthonormale $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres associées.
Montrons que cette base $\beta$ est orthogonale pour $f$. Pour $i \neq j$, on a : $$ f(e_i, e_j) = \langle u(e_i), e_j \rangle = \langle \lambda_i e_i, e_j \rangle = \lambda_i \langle e_i, e_j \rangle $$ Comme la base $\beta$ est orthonormale pour le produit scalaire, $\langle e_i, e_j \rangle = 0$ pour $i \neq j$. Donc $f(e_i, e_j) = 0$. La base est bien orthogonale pour $f$.
Soient $A$ et $B$ deux matrices réelles symétriques d’ordre $n$. Si $A$ est de plus définie positive, alors il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que : $$ A = {}^tPP \quad \text{et} \quad B = {}^tPDP $$
Remarque
Ce corollaire est fondamental en mécanique et en physique. Il signifie qu’on peut toujours trouver une base qui diagonalise simultanément deux formes quadratiques, dont l’une (représentant par exemple l’énergie cinétique) est définie positive. Les coefficients diagonaux de $D$ sont alors les valeurs propres de l’endomorphisme $u$ associé à la seconde forme quadratique par rapport au produit scalaire défini par la première.